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                             II. Matematica per il reale e per il fantastico

 

 

                                                     2.1 Introduzione.

 

    Per ragioni evidenti un’ontologia seria e degna di questo nome deve basarsi sulla cosmologia e sulla fisica, poiché sono questi due ambiti epistemologici, insieme alla biologia, a porsi come i pilastri di ogni filosofia dell’essere in quanto divenire. Un divenire quale realtà pluralistica che si dà in innumerevoli forme e in quattro regioni; almeno quattro (sia pur intendendole convenzionalmente e in termini non assoluti): la subatomica o delle particelle (RgP), la complessa o molecolare (RgM), la macroscopica o galattica (RgG),  la biologica o cellulare (RgC). Considerate separatamente ai fini euristici per la definizione delle loro connotazioni e dei loro processi evolutivi, esse sono implicate dalla matematica in differente misura, ma l’ultima abbastanza poco. La biologia può infatti in qualche misura fare a meno della definizione numerica, non le altre tre, al punto che esse difficilmente sono oggi pensabili senza la matematica e le sue equazioni. Di primo acchito, ciò potrebbe far pensare ad uno stretto legame “ontologico” tra la fisicità e la numerabilità,  il che è vero in quanto la definizione e la misurazione della fisicità non possono avvenire senza il linguaggio matematico, ma ciò non significa affatto che il numero e le sue connotazioni ed implicazioni fondino la realtà fisica.

    La matematica è infatti un linguaggio umano (accanto a quello verbale) che funziona ottimamente nella lettura e la definizione del mondo fisico, ma non per ciò questo “è matematico” in senso ontologico. Anzi, il nostro vero limite nell’approccio alla realtà fisica sta proprio nel fatto che noi disponiamo (purtroppo) solo del linguaggio matematico, il che significa che esso resta irrimediabilmente “astratto”. Per renderci conto di questo limite (e di che cosa sia il linguaggio matematico rispetto al “concreto”) si pensi alla raccolta da un melo di dieci suoi frutti che allineiamo sul nostro tavolo di cucina. Noi non solo diremo, ma soprattutto penseremo, che sul tavolo ci siano 10 mele. Ebbene, questa considerazione è del tutto astratta e priva di alcuna concretezza; né faremo di meglio riducendole in gruppi di 5, 4, 3, 2 ed infine arrivando ad isolarle contandole per un 1 che ogni singola mela rappresenta. Nella sua realtà ognuna di esse può essere citata come un “1” computabile, ma nessuna di esse è “una”. Ogni singola mela reale è “essa”, non “una”, e finché non passeremo a considerarle come singoli enti resteremo nell’astrazione.

    Il linguaggio dei discreti  è “funzione” della materia perché essa è “quantità” in ogni sua espressione [193], ma ciò non significa neppure che due elettroni attorno ad un nucleo siano per ciò stesso funzionalmente “identici”, e se non altro perché hic et nunc non possono esserlo per il principio di esclusione di Pauli. Non è quindi eccessivo dedicare due capitoli alla matematica in un libro che si occupa di fisica e di filosofia della materia, poiché il reale fisico ha trovato nella definizione numerica uno dei modi più rigorosi e coerenti di venire espresso. Però il numero, nella storia dell’homo sapiens, non ha avuto solo funzione cognitiva ma ha sempre significato molto di più. Perciò dobbiamo chiederci quante siano le matematiche, poiché è in virtù del fascino simbolico che ne sono nate molte weltanschauungen religiose ed esoteriche in virtù di quei complicati e affascinati meccanismi numerologici e geometrici di “logica mistica”. Gran parte della metafisica, alla base di ogni espressione del sacro, esiste grazie a tale tipo di logica, esplicita o implicita, poiché la perfezione formale-geometrico-numerica ha esercitato sempre un enorme fascino sulla psiche umana. Matematica e logica sono poi strettamente connesse, e se la matematica ha generato la logica essendone suo modello veritativo, questa ha influito notevolmente su quella.

    La fisica è impensabile senza numeri, equazioni, misure, perciò la matematica vanta tra tutti i linguaggi umani uno status speciale, al punto da esser vista “appartenere” prima che all’uomo alla natura stessa, in ragione della sua adeguatezza nell’interpretare e descrivere la natura in ogni suo aspetto. Né dobbiamo sorprenderci quando una creazione matematica astratta e apparentemente inutile trovi poi, magari a distanza, un’applicazione nel mondo fisico rivelandone nuovi aspetti. Così è potuto accadere che un mistico dei solidi platonici come Keplero, teorizzando un’armonia celeste da essi determinata compenetrandosi (Mystherium cosmographicum, 1597), finisca per scoprire le sue famose leggi. Dovremmo semmai stupirci se una creazione matematica fosse “inapplicabile al mondo fisico”. Ciò significa semplicemente che esso, essendo “quantitativo”, si lascia leggere perfettamente dalla matematica e che una nuova formulazione può sempre trovare  prima o poi una corrispondenza nel fisico.

    Il fatto che oggi la fisica teorica si sia in un certo senso staccata dalla fisica sperimentale crea qualche problema epistemico. Ne accenna Smolin in questi termini:

 

Il momento più strano nella vita di un fisico teorico è probabilmente quello in cui si accorge, all’improvviso, di star spendendo la sua vita inseguendo una specie di esperienza mistica che ben pochi dei suoi simili potrebbero condividere. […] A differenza dei biologi o dei fisici sperimentali, il nostro lavoro quotidiano non consiste nel confrontarci con fenomeni concreti, Per la maggior parte del tempo lottiamo non con la realtà, ma con sue rappresentazioni matematiche. […] La mistica della matematica, la fede che la realtà possa essere colta nel suo livello più profondo attraverso un’equazione o una costruzione geometrica: ecco la religione privata e intima del fisico teorico. [194] 

 

Ma non tutti i fisici teorici sono altrettanto consapevoli del medium in cui stanno navigando, e ciò spiega perché si possa arrivare, come Frank Tipler, a teorizzare che la funzione d’onda non sia altri che lo Spirito Santo.

    La tesi della “matematicità funzionale” del cosmo è stata espressa per la prima volta in maniera chiara da Galileo, nel celebre inciso del § 6 del Saggiatore, che vogliamo qui ricordare:

 

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto dinanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscere i caratteri, né quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intendere umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto. [195]

 

Passo assai chiaro ma spesso mal interpretato. La materia si connota come misurabilità e computabilità, le “sue parole” sono le figure geometriche (da intendersi in senso lato), i suoi “verbi” l’osservabilità e l’esperienzialità. La materia non parla all’uomo se non attraverso i “mezi” della matematica. Certamente uno dei passi più equivocati, utilizzato per sostenere che Galileo sarebbe stato un sostenitore della “struttura matematica” dell’universo, il che è una manifesta forzatura. Occorre infatti distinguere tra ciò che si “connota” in un certo modo e come esso si “denota”, intendendo per connotazione il suo apparire e il suo rendersi “leggibile all’uomo” nei suoi attributi (nel rapporto pensiero umano-realtà materiale) e per denotazione l’insieme di quegli elementi, intrinseci del suo essere, ovvero che lo fanno essere ciò che è.

    La nostra posizione è criticata da parte di coloro che vedono lo strumento materiale (contatore Geiger o radiotelescopio) non come operatore di un rapporto diretto materia-materia, ma come un mero prolungamento delle capacità umane, sensorie e intellettive. Si sostiene che, in quanto progettato dall’uomo, da esso fabbricato, da esso tarato e da esso utilizzato, lo strumento non ponga un rapporto materia-materia, ma sempre un rapporto uomo-materia. Quest’opinione presuppone che l’homo faber sia, esattamente come Dio,  un “creatore” ex nihilo della macchina che utilizza, e che, in quanto tale, essa sia “sua” ed agisca come sua “parte”. Opinione apparentemente accettabile ma scorretta: la macchina resta materia grezza e “non pensante” anche quando sia avanzatissima e complicatissima, computerizzata e robotizzata, grazie alle capacità progettuali e costruttive del faber. Questi è il progettista-assemblatore di elementi della fisicità generale che si offrono all’uso, ma non esiste una materia “intelligente” al di fuori  di quella vivente. I teologi panteisti-olisti che immaginano una “materia intelligente” (essa non è neppure “intelligentabile” dall’uomo!) fanno della pura mitologia. La materia inorganica (metallo, vetro, plastica, ecc.) non possiede una porzione neppure minima dell’intelligenza che può avere il più elementare e primitivo batterio. 

    La differenza ontologica tra gli enti della realtà cosmica nel suo complesso va colta con rigore senza alcun cedimento a invenzioni metafisiche che esorcizzino e correggano un’oggettività cosmica sgradevole rendendola accettabile per la psiche umana,. L’homo sapiens, grazie al suo pensiero (“materiale” anch’esso quale prodotto di neuroni e sinapsi), riesce a studiare, trasformare e utilizzare per i suoi scopi ciò che la natura gli offre, ma non riuscirà mai a rapportarsi a un fermione o a un bosone. Gli strumenti umani sono “protesi funzionali di lettura”, mai “organiche” al cosmo per quanto il livello intellettivo che permette la loro realizzazione sia immensamente maggiore di quello di ogni altro animale che “non legga il cosmo”. Però sono moltissimi gli animali che utilizzano “protesi funzionali” per procurarsi cibo e nulla ci autorizza a pensare che i nostri strumenti abbiano uno status differente da quelli di un primate o di un uccello. Tra un complicatissimo rilevatore della collisioni subatomiche e la miriade di strumenti di ausilio alla caccia utilizzati dagli animali non vi sono affatto differenze di sostanza, ma solo di scopi.

    I platonici però non accettano l’equiparazione dell’homo sapiens agli altri animali; dominatori incontrastati della cultura da 25 secoli hanno imposto le loro opinioni matematicamente forti. Anche molti epistemologi sono dei platonici, come quell’Alexandre Koyré (non per nulla allievo di Husserl !) che nel famoso Études galiléennes del 1940 è riuscito ad imporre l’immagine di un Galileo “platonico”, mettendo in ombra gli elementi osservazionali ed esperienziali della sua attività. Per fortuna che è il pisano stesso a smentirlo, poiché nelle sue opere in generale e nel Saggiatore nello specifico, confutando continuamente i «sillogismi» del Sarsi [196] e ribadendo la funzione fondamentale del cannocchiale quale strumento osservazionale fondamentale, ne rivendica con orgoglio la paternità [197]. Galileo sottolinea il valore ineludibile dell’esperienza affermando: «Io non posso non ritornare a meravigliarmi, che pur il Sarsi voglia persistere a provarmi per via di testimoni quello ch’io posso ad ogn’ora veder per via d’esperienze.»  [198]    

    Il pluralismo fisico e i suoi referenti, i discreti della realtà (masse + energie + assemblanti) fonda il linguaggio matematico e l’uomo gli dà le forme, così com’è la realtà sociale dell’homo sapiens  a fondare il linguaggio, non viceversa. Le mistificazioni delle gnoseologiche metafisiche, com’è anche lo strutturalismo, sono state esiziali e il platonismo numerologico-geometrico (quello che qualcuno chiama realismo matematico) non è altro che una delle forme della mistificazione strutturalista. Lo strutturalismo è invariabilmente e inequivocabilmente una “meccanica del divino” comunque la si voglia far passare, e ciò anche quando si presenta con connotazioni nettamente laicistiche e persino atee. Una “struttura” di tipo razional-matematico sub-stante alla fenomenicità cosmica è solo teologia filosofale. D’altra parte la matematica e la religione hanno legami storici dei quali parleremo e il fatto che la matematica sia il più rigoroso e soddisfacente strumento cognitivo umano di definizione e misurazione del reale non l’ha mai salvata dal farne qualcos’altro. Alle origini, infatti, non se ne coglievano solo le straordinarie utilità ma anche il suo straordinario fascino, misterioso ed evocativo di “Altro”. Serviva per misurare aree, volumi, pesi e per calcolare quantità, ma anche a costruire icone ed altari, produrre formule e figure magiche, fabbricare congegni numerali esoterici ed evocare entità trascendenti. La matematica ha sempre accompagnato la teologia e in molti casi ne ha fornito elementi fondanti.

    La più grande civiltà religiosa del pianeta, quella indiana, è cresciuta in stretta connessione non solo con una numerologia mistica, ma con l’aritmetica per il calcolo e la geometria degli spazi sacri e degli altari. La numerazione indiana era anche la più completa (aveva lo 0), la più semplice, la più razionale; ogni qual volta vi furono relazioni commerciali tra il mondo indiano ed altri, furono sempre questi ad adottare il suo sistema numerico. [199]  La mistica numerologica di Pitagora e la religione da lui fondata, per quanto esoterica, era anch’essa una costruzione teologica in cui i numeri e le figure geometriche erano già strumenti matematici in senso stretto. Ci si potrebbe chiedere come mai la Grecia intorno al X sec. a.C. ed oltre, arretrata culturalmente sia rispetto all’ambito mesopotamico e sia a quello egiziano, abbia dovuto avere in un mistico colui che vi ha introdotto la matematica venuta dall’Oriente. Il fatto è che si tratta di un linguaggio complesso, stupefacente, polimorfo e soprattutto “plastico”: se ne fa quel che si vuole. Così può creare una sentimentale “scienza mistica” e servire a valutare e misurare i bruti enti primitivi (le particelle elementari) della realtà fisica. 

    Se, come ci ricorda Whitehead, il pensiero occidentale è una lunga parafrasi del pensiero di Platone, vediamo di capire che cos’è la teologia platonica, poiché essa non è solo è la metafisica-madre, è anche aritmetica e geometria applicate all’essere. Del fatto che anche Platone fosse un mistico ne sono convinti in molti; Giovanni Reale [200] pensa che la segreta “dottrina non scritta” dell’ateniese fosse la parte più importante del suo pensiero, quella maturata nei suoi ultimi anni di vita. Le sue lezioni Intorno al Bene, riservate a discepoli privilegiati, iniziati a un “percorso” per accedere alle verità sacre, dovevano richiedere una disciplina di tipo esoterico. Con ciò egli si ricollegava al terzo suo maestro ideale insieme a Parmenide e a Socrate: il Pitagora “numerologico-geometrizzante” della realtà divina. Platone fonde sapientemente pitagorismo e dualismo orfico sulla base della comune visione  panpsichistica della realtà e su quello della trasmigrazione delle anime, che il pitagorismo aveva tratto, con la matematica, dalla teologia indiana.

    Il genio dell’ateniese ha prodotto anche la definizione della religione numerologico-geometrica vestendola di un fastoso vestito razionalistico, operazione di cui Pitagora non poteva essere capace. È questa sontuosa immagine della matematica, col suo correlato geometrico, ad essersi costituita come base di tutte le tesi strutturalistiche ed olistiche di essa, implicanti sia la strutturalità cosmica e sia l’esistenza di un “disegno” cosmico a priori.  Osserva Carl Boyer che: «Le concezioni di Platone relative al numero sono così altamente speculative da toccare le sfere del misticismo e dell’immaginazione fantastica.» [201]  Il platonismo è filosofale e antifilosofico, creatore di molte mistificazioni gnoseologiche e del “realismo” in matematica. Ma anche il logicismo si configura come una moderna versione realista-strutturalista della teologia platonica, di cui Frege è stato il profeta e sulla cui scia si sono posti due grandi sacerdoti logicisti del Novecento, Bertrand Russell [202] ed il già citato Alfred North Whithehead. Il primo, un sedicente ateo (ma gli va dato atto del suo nobile impegno pacifista e della validità esistenziale della sua “etica del desiderio”), il secondo, un teologo platonico che teorizza gli “oggetti eterni” e l’”armonia universale” in base alla monadologia leibniziana. Anche la loro è un’interpretazione sterile e astratta della matematica: una riproposizioni dell’immortale visione platonica dell’essere.

    La matematica dei logicisti è sterile perché le operazioni matematiche, una volta rivestite di logica, non possono che fare la stessa fine della logica stessa, cioè lavorare su mere tautologie. A Russell, di cui non condividiamo il pensiero logico (ma abbastanza quello etico), va riconosciuta chiarezza e onestà intellettuale quando afferma (sotto l’influenza di Wittgenstein) nelle pagine conclusive di Introduzione alla filosofia matematica:

 

Pur non potendoci più accontentare di definire gli enunciati logici come enunciati derivanti dalla legge di contraddizione, possiamo e dobbiamo ancora ammettere che essi sono una classe di enunciati del tutto differenti da quelli che apprendiamo empiricamente. Essi hanno tutti la caratteristica che, poco fa, abbiamo convenuto di chiamare “tautologia”. […] Per ora non so come definire la “tautologia”.  [203]

 

Gli enunciati empirici sono quelli della scienza osservativa e sperimentale, afferenti la vera “conoscenza” della realtà, mentre quelli matematico-logici sono autoreferenziali e tautologici. Queste righe scritte da Russell nel 1918-19 seguono di otto-nove anni la composizione dei Principia matematica (scritti con Whitehead) dove il concetto di tautologia era posto, ma in senso tecnico, come “funzione preposizionale”; quindi, ancora una volta, in termini autoreferenziali e non gnoseologici [204].  Egli ammette di non saper come definire la tautologia, cosa invece del tutto chiara a Wittgenstein, che scrive nel Tractatus logico-philosophicus (1921):

 

[4.461] La proposizione mostra ciò che dice; la tautologia e la contraddizione non dicono nulla. La tautologia non ha condizioni di verità, poiché è incondizionatamente vera; e la contraddizione è sotto nessuna condizione vera. Tautologia e contraddizione sono prive di senso. [205]

 

E tuttavia (4.4611) la tautologia e la contraddizione “acquistano un senso” sul piano simbolico:

 

[4.462] Tautologia e contraddizione non sono immagini della realtà. Esse non rappresentano alcuna possibile situazione. Infatti quella ammette “ogni” possibile situazione; questa “nessuna. Nella tautologia le condizioni della concordanza con il mondo – le relazioni di rappresentazione – s’elidono l’un l’altra, così che essa non sta in alcuna relazione di rappresentazione della realtà. [206] 

 

Wittgenstein va poi oltre; dopo aver affermato (6.031) che «La teoria delle classi è affatto superflua in matematica » [207], aggiunge (6.1): «Le proposizioni della logica sono tautologie.». Infine (6.11) con: «Le proposizioni della logica dicono dunque nulla.» [208] pone la lastra tombale sulle pretese euristiche della logica.

    Fortunatamente, grazie anche a Wittgenstein, le interpretazioni logiciste sono in ribasso, mentre nuovi indirizzi esegetici degli ultimi decenni mettono invece la matematica in relazione diretta con la realtà, togliendole quell’aura di mistero e trascendenza di cui i platonisti l’avevano circonfusa. Prenderemo in considerazione nel capitolo successivo tre indirizzi piuttosto interessanti, che vedono la matematica come frutto della storia e della cultura, come derivata dal linguaggio quotidiano, come legata alla percezione del mondo e all’agire quotidiano. La prima posizione è rappresentata da Reuben Hersh (What is Mathematics, Really ?, 1997), la seconda da Lakoff e Núñez [209] (Where Mathematics comes from, 2000), teorizzatori dell’embodiment in matematica, la terza da Keith Devlin con The Math Gene (2000) e The Math Instinct (2005). Ce ne occuperemo rispettivamente ai §§ 3.2, 3.3 e 3.4

 

 

 

                                      2.2   Computo e misura. Origini e sviluppi

 

    Proviamo ad immaginare un homo sapiens di cinquantamila anni fa e chiediamoci come possa essersi affacciato alla sua mente il concetto di “numerabilità”. Molti sostengono essere stato il ritmo dei battiti cardiaci, variabile per stato d’animo e sforzo, a suggerire il primo tentativo di espressione computazionale e la prima idea di numerabilità. Ci pare altrettanto probabile che possa esser nata dalla distinzione tra un oggetto, un altro uguale, e il loro insieme: prima “uno” qui e “uno” là, poi un insieme che è un “più” cui si dà un nome (due, coppia, o altro). Osserva Boyer:

 

Quanto sia stata lenta la formazione di un linguaggio che esprimesse astrazioni quali il numero, si deduce anche dal fatto che le espressioni numeriche verbali primitive facevano sempre riferimento a specifiche raccolte concrete, come “due pesci” o “due bastoni”, e che solo più tardi un’espressione del genere fu adottata convenzionalmente per indicare tutti gli insiemi di due oggetti. [210]

 

 “Dare un nome” alla duplicità, dunque; ma ognuna delle unità è probabile che “già” avesse un nome, per poterlo indicare ad altri e diventare oggetto di discorso, di narrazione, di preghiera, di comando, ecc.  Alcune tribù di aborigeni australiani, ancore di recente, usavano solo tre parole, corrispondenti a “uno”, “due” e “molti”. Ancora all’inizio del ‘900 i Boscimani del Kalahari avevano parole solo per i primi cinque numeri. Nomi quindi, non valori di quantità da usare per il calcolo: parole usate più per qualificare che per quantificare e in diverse lingue la parola “cinque” corrisponde a “mano”. La numerazione agli inizi è una “nominazione”, e la nominazione è già una forma anche di “dominazione”, di possesso e di controllo della cosa nominata. Ma c’è più, il nominare è per molti versi un “portare all’esistenza” e tanto la sua definizione espressiva quanto il computarne qualche connotato diventano requisiti indispensabile nella ri-creazione antropica di parti della realtà. Il numero di per se stesso è già “creazione”, perché misurando e quantificando esso si fa “qualificante” e “significante” dell’oggetto in sé e della pluralità ristretta od estesa di cui fa o può far parte. 

    Assai prima che i concetti matematici si affermassero per le operazioni di computo, i numeri sono stati definiti con un nome in quanto “cose”. Le ipotesi paleo-antropologiche al riguardo sono numerose e in tempi abbastanza recenti un grande matematico come Poincaré era convinto che la matematica si costituisse anche come arte del “nominare” [211] e non solo nel mondo arcaico. Ciò era già chiaro a Locke che scriveva: «I nomi o i segni rispondenti a ciascuna combinazione distinta sembrano più necessari qui che per qualunque altra specie di idee. Poiché, senza tali nomi o segni, ben difficilmente possiamo far uso dei numeri nel contare » [212] Né è un caso che comunemente si trovi bello e conveniente qualificare qualcosa con una sua caratteristica numerica, e sono certamente il “molto” e il “grande” ad aver dominato la coscienza dell’uomo sin dalle origini. In generale, conferire “numerabilità” agli enti del mondo significa connotarli e definirli. Solo così il cosmo, o natura, questa macro-entità misteriosa che ci accoglie e ci sovrasta, può essersi fatta più famigliare, più vicina, rendendo più concreti e presenti i suoi costituenti. La matematica “avvicina” a noi le cose, ce le fa possedere meglio, controllare di più, considerarle più “nostre”. Sta proprio in questo la straordinarietà del linguaggio matematico, di essere estremamente utile ed insieme straordinariamente bello, sì da determinare anche una vera e propria estetica matematica che permette di definire “bella” un’equazione o una teoria.

    Ciò a cui abbiamo accennato è solo un aspetto del problema della lettura del mondo, poiché il contare  è certamente venuto dopo il comunicare discorsivo, se non altro perché l’uomo è tanta psiche quanto poca ragione; e ciò spiega anche perché la prima aiuta a vivere meglio o peggio più della seconda. È la psiche che determina la weltanschauung, non la ragione che valuta e analizza, ed è a livello psichico che l’immenso e l’indefinito si coniugano configurando l’infinito,  che si correla all’ignoto e al misterioso e che si dà qui e ora per generare l’idea del sacro. Una volta generato questo, ogni elemento cognitivo ne è condizionato, anzi, “assoggettato”, e poiché il numero e la figura geometrica (come sua espressione “visibile”) posseggono una fortissima carica di suggestione simbolica, diviene chiaro perché  tutti i libri sacri, in ogni cultura, siano ricchissimi di riferimenti numerologici e geometrici. Anche nel momento in cui la teologia filosofale acquista autonomia rispetto alla teologia cultuale, definendosi come metafisica razionalistica, è ancora sempre colma di elementi simbolici.

    Torniamo al nostro homo primitivo per domandarci che cosa possa essere accaduto dopo l’identificazione e la conseguente nominazione del 2. Nuovi confronti l’avranno condotto a riconoscere dopo molto tempo il 3 e forse per lungo tempo il 4 sarà rimasto un “molti”. La consapevolezza che le dita della mano si prestavano a rappresentare altrettanti oggetti sarà stata una conquista rivoluzionaria. Raggiunto il 5 ed accoppiando due mani è venuto il 10, e col dieci la consapevolezza di poter contare finalmente i “molti” all’infinito, di definirli con un nome preciso. Perciò il 5 riveste un’importanza particolare rispetto a tutti gli altri numeri, poiché la mano coi suoi cinque elementi prensili è l’abaco originario di ogni successiva operazione numerica [213], sicché numerose popolazioni arcaiche chiamano il 5 “mano” e viceversa, mentre gli altri quattro numeri nominano le quattro dita rimanenti. D’altra parte il termine sanscrito pantcha corrisponde in persiano a pentcha, che significa mano, mentre in russo il 5 si dice piat, e la mano aperta piast [214].

    Facile concludere che per molto tempo le dita delle due mani sono state il massimo della computazione e che prima di passare ad associare le mani di due persone o più ci sarà voluto del tempo [215]. Poi si sarà estesa la quinarietà dalla mano al piede, per vedere poi in ogni parte del corpo (braccia, gambe, testa) e persino in ogni snodo (collo, polso, gomito, ginocchio) altri numeri. Molte sono le parti del corpo utilizzate per misurare oggetti, corpi ed estensioni (si pensi agli inglesi inch e foot); oppure elementi spaziali che sono stati rapportati a funzioni meccaniche del corpo, come i passi. Nota opportunamente Carl Boyer: «In parecchie delle attuali misure di lunghezza si riscontra la tendenza del linguaggio a evolversi in forme concrete verso forme astratte. L’altezza di un cavallo è misurata in “mani”, e le parole “piede” e “braccio” sono analogamente derivate da parti del corpo.» [216] Anche le enormi piramidi egizie avevano come unità di misura parti del corpo umano, con la larghezza di 4 dita = 1 palmo, 7 palmi = 1 cubito. Il papiro matematico di Rhind prescrive: «Una piramide ha un altezza in verticale di 93 e ⅓ cubiti.»  [217]

    Passo successivo la consapevolezza che dei bastoncini potevano sostituire le dita, e che essi potevano essere sostituiti da ciottoli, e poi da semi, da tacche incise sulla corteccia di un albero o di un bastone, ed infine da segni sulla sabbia o su altri agglomerati in grado di ricevere dei segni.  Tutto ciò, collegato al disegno, alla rappresentazione, alle forme, ha fatto del numero la forma astratta sia del reale e sia dell’immaginabile. Nel contempo bastoncini, ciottoli, mani e dita, si prestavano al computo e rimanevano presenti come testimoni dei numeri stessi. Ma l’uomo primitivo aveva anche la visione istantanea di una coppia di uccellini su un ramo, e avrà potuto formulare il 2 nell’istante che ha preceduto lo spicco del volo. Una volta volati via che cosa è rimasto del 2? Forse da esperienze di tal genere è nata l’idea astratta di numero e la matematica nella sua forma più alta e produttiva. Una delle questioni più importanti e controverse è anche la relazione tra numeri cardinali ed ordinali all’inizio della concezione di numero: vi è chi ritiene che l’ordinalità sia un concetto assai più tardo del calcolo; all’opposto, vi è chi pensa che sia stato “mettendo in ordine “ oggetti che possa esser nata l’ordinalità e solo in seguito la conta.

    Probabilmente, all’inizio, la “misurazione-valutazione” del mondo sarà stata puramente “qualitativa” ed approssimativa; più tardi si sarà cominciato a notare che un sasso può avere volume o peso “doppio” di un altro più piccolo e che un generico cesto poteva contenere il “doppio” di bacche o frutti d’un altro. Se, come prima vera calcolatrice, mano + mano = 10, ha dato luogo allo straordinario successo della base computazionale 10, in numerose culture sono state codificate altre basi come il 60 tra i babilonesi. Per quando l’unità stia alla base di ogni numerazione pare difficile ritenere che l’1 sia stato concepito contemporaneamente ai successivi. È stato probabilmente a partire dal 2 o dal 3 che si sarà in seguito pensato all’1 quale identificazione di un’unità di base per il calcolo e la definizione della pluralità; è ritenuto sicuro che le coppie di cose e le triadi fossero indicate dai nostri lontani progenitori con un nome proprio qualitativo. Altri modi sono più irrazionali ma abbastanza efficaci, come quelle scoperte dagli antropologi in alcuni gruppi dell’Africa Centrale che usavano ancora nell’800 un base binaria orale, dove si partiva dall’1, seguiti dal 2, dal 2+1, dal 2+2, quindi dal “molti”. Anche una tribù di indigeni australiani, i Gumulgal, contavano su base due, ma andando oltre; dopo il 2+2 si contava infatti il 2+2+1, il 2+2+2 e il 2+2+2+1 [218]. Si ritiene che alcune comunità remote del Sud America contassero assumendo invece come base il 3 o il 4.

    In ogni caso è solamente a partire da una base computazionale “pratica”, legata alla quotidianità, che si può ritenere nata l’aritmetica; dalla percezione del mondo nella sua pluralità oggettuale, e dalla gestione della stessa. La base di calcolo è variabile e non sembra così importante, quantunque la 10 e la 60 abbiano portato alle evoluzioni più utili e complesse. La base 4 è rara e la si è ritrovata presso gli indiani californiani Cumus, che contavano fino a 16, passando poi a base 20 (5 x 4) per i numeri più alti. Va ricordato che i Maya usavano una numerazione posizionale su base 20, e che con essa erano arrivati a calcolare molto bene i giorni di un anno [219]. E tuttavia, contare le cose percepibili e visibili non è ancora matematizzare; ciò nasce solo col concetto di 0, che però è del tutto astraente dalla realtà del mondo, infatti farà la sua comparsa molto tardi nella mente dell’homo sapiens e nella più totale assenza di elementi percettivi che potessero avere rapporto col “niente”.  Con 0 i Babilonesi indicavano lo “spazio vuoto” (ma non il nulla), mentre il concetto astratto di nulla lo usavano già gli indiani nel 3000 a.C. come risultato dell’operazione 10 – 10 = 0. D’altra parte, nella realtà percepibile, non esiste alcun suo aspetto che si presti ad essere definito come non-essere o nulla, così come niente di ciò che esiste autorizza l’ipostasi dell’infinito e dell’eterno. Lo 0 e l’infinito sono stati strumenti matematici estremamente utili, ma essi non sono affatto “nel mondo”.

    Una cultura tendenzialmente astratta come quella indiana rivela chiaramente come la nascita dello zero abbia avuto probabilmente una lunga gestazione, legandosi all’inizio non al concetto di “nulla”, bensì a quello di “non-computabile” o “non-valutabile”. Un vero concetto di vuoto, esprimibile in sanscrito con śunya (pron: shûnia) [220] compare abbastanza tardi e lo si trova nel Buddismo, rafforzato in sūnya-sūnyatā, cioè “vacuità del vuoto”. Barrow, nel suo Da zero a infinito, cita 17 parole sanscrite, oltre a śunya, che in vario modo fanno riferimento al valore zero ea concetti come atmosfera, etere, spazio, cielo, volta del cielo, viaggiare per mare, buco, piede di Vishnu, punto, ecc.[221]  Dal “punto”come cerchietto pieno nasce lo zero come cerchietto vuoto, infatti la parola bindu (o vindu) è nata per indicare un cerchiolino di dimensioni infinitesime, sì da diventare poi un punto [222]. Barrow nota che nel misticismo Tantra bindu compare sia per indicare la totalità dello spazio come “pensiero iniziale” e sia la sua riduzione graduale a infinitesimo [223]. L’iter mistico dall’immenso al minimo prefigura quello dall’infinito al nulla, due estremi di simile valore sacrale in un itinerarium in Deum che come inizio-fine si configura anche come un tutto-nulla. Tra le 17 parole citate per “vuoto” c’è infatti anche ”completo” (pûrna) quale “immensità dello spazio” (ananta) alludendo a “infinito”, e il concetto di non-computabile/non-valutabile forse si é posto all’homo sapiens prima dello sdoppiamento zero/infinito.  

    I primi scambi di beni (frutti ed altre cose eduli, oggetti vari, ecc.) si saranno posti in essere per cercare di ottenere un “più contro meno”; solo così il baratto poteva venir percepito come “conveniente” o no. Il computo riguardava pertanto un trasferimento di beni che poteva qualificarsi come utile o no, ovvero come “buono” o “cattivo”, sicché una considerazione qualitativa inconsciamente inquinava il giudizio quantitativo, come spessissimo l’homo sapiens avrebbe continuato a fare in seguito. Quando, sul filo di un baratto, si sarà chiesto per la prima volta il “perché?” ci fosse convenienza nel farlo o no in termini razionalistici? Quando avrà cominciato a confrontare i numeri in relazione a beni differenti per utilità e prestazioni? Affinché ciò abbia potuto aver luogo hanno dovuto essere posti concetti come uguaglianza, similitudine, coerenza, relazione, ecc. e la definizione del concetto di “bene commutabile” con altri dello stesso tipo, per giungere infine a una scala di valori e a una misurazione del valore su base numerica con rudimentali metri o bilance. Ma con tutto ciò siamo ancora sempre nel campo dell’aritmetica e dobbiamo ancora sempre cogliere il passaggio a quelle forme del computo (la matematica e l’algebra) che ci hanno permesso di arrivare alla misurazione di costanti di vario tipo, come il pi-greco, la radice di 2, il tempo di decadimento di una particella instabile e la costante di Planck. Dati tutti tanto reali quanto imperfetti, difficilmente riferibili ad un disegno intelligente creatore di un cosmo perfetto, armonico e, soprattutto … “matematico”.

    Nata la computazione nasceva la nominazione quantitativa, che permetteva di trasmettere informazioni, di narrare con maggiore esattezza, di registrare beni numerabili, di fare calcoli e previsioni, di suddividere equamente unità di beni vari tra aventi diritto. Si pensa che ciò possa aver avuto inizio tra il 35.000 e il 25.000 a.c.; il femore di Babbuino scoperto in Africa meridionale sui monti Lebombo (ai confini dello Swaziland) e con 29 tacche è fatto risalire al 35.000 a.C. L’Osso di lupo di Vestonice (presso Brno) scoperto nel 1937 viene fatto risalire al 30.000 a.C. e porta una serie di 57 tacche: 25 più lunge e riunite in gruppi di 5, due tacche molto lunghe come divisori e altre 30 più corte.  Tra il 18.000 e il 10.000 a.C. è da collocare il più famoso Osso di Ishango (trovato sui monti al confine tra Zaire e Uganda) in prossimità di un lago. Esso porta 3 registri di tacche sovrapposte di diverse lunghezze e raggruppamenti, che lo ricoprono circolarmente, e rivela l’uso di una numerazione a base 10. L’archeologo belga De Heinzelin ha ipotizzato nel 1962 che potesse trattarsi di un gioco aritmetico su base 10 con  i numeri primi e i loro raddoppi. Il fatto che in Egitto, ma molto più tardi, risulti adottata anche la base 10, e che la zona di Ishango fosse un centro di produzione di attrezzi vari e di fiocine ritrovate molto più a Nord, ha fatto supporre che proprio da questa zona lacustre questo tipo di numerazione abbia potuto a poco a poco raggiunge l’Egitto, dando inizio a quello che è considerato il primo e già quasi perfetto sistema decimale. 

    In Egitto erano importanti le ri-misurazioni e delimitazioni dei terreni dopo le inondazioni del Nilo che spazzavano via ogni cippo. Anche il computo dei bottini di guerra ha stimolato il computo: al Museo di Oxford c’è una mazza reale del 3000 a.C. circa (Mazza di Narmer) sulla quale sono registrati 120.000 prigionieri e la confisca di 400.000 bovini e di 1.422.000 caprini [224]. In ambito mesopotamico gli sviluppi sono ugualmente interessanti; l’archeologa Schmandt-Besserat ha scoperto negli anni ’80 in siti sumerici irakeni dei gettoni d’argilla di forme differenti (triangolari, rettangolari, discoidi, conici, tetraedrici, sferici) utilizzati come monete e in parte risalenti all’8000 a.c. [225] .  Verso il 4000 a.c., compaiono sistemi di misura di pesi e grandezze, con la registrazione di derrate alimentari e animali mediante incisioni su tavolette d’argilla. Poi, all’inizio del terzo millennio (gli antropologi concordano sul 2800 a.C.) in India si incominciano ad usare frazioni decimali entro un sistema di pesi e misure dove le più piccole quantità pesate corrispondono a 0,028 kg e le più piccole lunghezze a 0,001704 metri. Poco dopo sono scoperti i numeri negativi e si comincia a misurare sistematicamente oggetti, strade, case e pavimenti. Verso il 2600 nella costruzione di case a più piani si utilizza l’angolo retto in modo rigoroso e si fabbricano mattoni di dimensione fissa in base alla quale si può calcolare il loro numero in funzione dell’edificio. Due secoli dopo in Mesopotamia si costruiscono i primi abachi e in Egitto nasce il primo calendario.

    Gli studi più recenti confermano che ai matematici indiani va il merito di avere inventato la matematica in tutti e tre i rami della geometria, dell’aritmetica e dell’algebra. Ciò non significa che ne siano stati i migliori sviluppatori, poiché l’algebra è un campo in cui eccelleranno i babilonesi, la cui eredità passerà nell’era volgare agli arabi [226], subentrati nell’area mesopotamica e poi in quella nord-africana e iberica. Qui ha origine quella meravigliosa fioritura culturale che incomincerà ad offuscarsi solo nel XIV secolo e che verrà praticamente distrutta ai tempi della “cristianissima” Isabella di Castiglia, quando la cultura araba dovrà piegarsi alla forza militare cristiana. Costretti gli uomini di cultura o ad abiurare la loro fede mussulmana ed ebrea o ad esiliarsi, la Spagna precipita in una barbarie cristiana, almeno dal punto di vista matematico-scientifico, che solo l’Illuminismo incomincerà a riscattare. Le capacità matematico-scientifiche degli Arabi iberici tra l’VIII e il XIII secolo erano sicuramente maggiori di quelli dei contemporanei egiziani, per quanto questi fossero più avanti nella geometria.

    I babilonesi per primi riducono l’equazione ax2 + bx = c alla forma y2 + by = ac sostituendo ax con y; mentre equazioni miste del tipo x3 + x2 = a venivano risolte usando tavole che davano i valori  della combinazione n3 + n2 per valori interi di n da 1 a 30. [227] Attorno al 2000 a.C. in Mesopotamia si fissa il sistema esadecimale [228], e contemporaneamente nel calcolo del cerchio si arriva a definire il valore del coefficiente che trasforma il diametro in circonferenza (quello che richiamerà poi π greco) in 3,125. Poco dopo in Egitto si conseguono altri grandi risultati: al 1.800 a.c. risale il Papiro di Mosca con la formula per trovare il volume dei tronchi di cono e in uno a Berlino la soluzione di equazione algebriche di secondo grado. Alla stessa epoca in India (nel Shatapatha Brahmana) si descrivono le orbite del Sole e della Luna, mentre nello Yajur Veda viene posto per la prima volta il concetto di infinito nei termini seguenti «Che all’infinito si tolga una parte o la si aggiunga il risultato è sempre infinito.». In Egitto nel 1650 a.C. (Rhind Mathematical Papyrus) lo scriba Ahmes descrive la quadratura del circolo e dà il π = 3,16, insieme all’impiego di una sorta di cotangente e la soluzione delle equazioni lineari di primo grado. Nel 1350 a.C. l’astronomo indiano Lagadha scrive il Vedanga Jyotisha, un testo astronomico dove descrive le regole per tracciare le orbite del Sole e della Luna con l’utilizzo di principi sia geometrici che trigonometrici. Poco dopo gli Egiziani incominciano ad usare normalmente frazioni di tipo elementare.

    Nell’800 a.C. l’indiano Baudhayana in una Shulba Sutra descrive già il cosiddetto “Teorema di Pitagora”, il π [229] e  le equazioni quadratiche, inoltre calcola la radice quadrata di 2 (√²) fino al quinto decimale. Nel 600 a.C ancora un altro indiano, Apastamba, in un'altra Shulba Sutra, rivela l’uso dei numeri irrazionali e delle cosiddette “Terne di Pitagora” [230], insieme ad un valore di √² = 1,414213562.  Anche i Babilonesi conoscono già il “Teorema di Pitagora” ben prima che nasca Pitagora, derivandolo dagli Indiani ma dando di esso un’interpretazione numerica tipica dei matematici babilonesi, dediti assai più ai numeri che alle figure geometriche, rivelando una particolare propensione all’astrazione. Già in alcune antichissime tavolette si trovano infatti tabelle contenenti le potenze successive di un dato numero, simili alle moderne tavole logaritmiche [231].  Per Abraham Seidenberg la matematica babilonese condivide con quella cinese aspetti che fanno pensare alla derivazione di entrambe dagli Indiani. Ciò sarebbe rilevabile nel Chiu Chang Suan Shu (scritto intorno al 250 a.C.), traducibile con Nove capitoli sull’arte matematica, il più importante testo della matematica cinese [232]. Peraltro, che la matematica cinese e quella babilonese abbiano dei punti in comune è anche l’opinione di Van der Waerden. Sembrerebbe certo che l’India sia stata centro di irradiazione delle conoscenze matematiche, ad Est verso la Cina e ad Ovest verso la Mesopotamia.  Seidenberg deriva questa conclusione da una sua ricerca sul modo di calcolare il volume della sfera, che avrebbe avuto origine in India sin dal 1500 a.C. e che sarebbe poi emigrato in un ambito geografico che andava dall’Eufrate allo Yang-Tse-Kiang  [233].

    Nel VII secolo a.C. Talete introduce in Grecia conoscenze matematiche che apprende probabilmente in Egitto. Il preannuncio dell’eclisse di sole del 28 maggio del 585 a.c. che la leggenda gli attribuisce è probabile non essere farina del suo sacco. Ci dice Proclo (in Euclidem, 65, 3) che Eudemo di Rodi avrebbe sostenuto:

 

Come presso i Fenici  ebbe inizio lo studio accurato dei numeri a causa dei commerci e degli scambi, così presso gli Egizi fu trovata la geometria per il motivo suddetto. Talete, per primo, recatosi in Egitto, trasferì in Grecia questa disciplina ed egli stesso fece molte scoperte in tal campo e di molte guidò gli inizi a quanti vennero dopo di lui, dedicandovisi ora con intenti più generali, ora più empirici. [234]

 

Se ciò è vero il padre della matematica greca è Talete e non Pitagora. Questi, nato nel 570 a.C., si trasferisce a Crotone dove fonda, dopo il 530 a. C., un centro di studi esoterici fondati sulla numerologia. In quest’ambito però si realizzano anche studi matematici di tutto rispetto, adottando una nuova modalità dimostrativa dell’equivalenza nel triangolo rettangolo delle aree dei quadrati sui cateti e di quello dell’ipotenusa, col raggiungimento del valore esatto del π in 3,14159 periodico. La storicizzazione delle fasi delle scoperte e delle creazioni di elementi e principi matematici dalla più remota antichità al VI sec.a.C. vede secondo Seidenberg [235] la Grecia arrivare ultima, ma poi, con Archita di Taranto (430 – 360 a.C.), Menecmo (375-325), Apollonio di Perge (fine IV-inizio III sec.a.C.) e col grande Euclide (fine IV-inizio III sec.a.C.) acquista un’indiscutibile supremazia teorica. D Archimede (287 – 212 a.C) la matematica e la geometria sono applicate alla meccanica e all’idrostatica. Ma egli non trascura la misurazione e si lascia tentare con un certo senso ludico dal calcolare quanti granelli di sabbia potesse contenere l’universo. Così, in quel curioso trattato che è L’Arenario oltre che dimostrare che con le lettere si possono esprimere numeri grandissimi (come facevano già gli Egiziani) con unità il granello di sabbia giunge alla conclusione che 10.000 dita formino uno stadio (circa 180 metri). Con un successivo computo di tetradi ed ottadi dello stadio, il cui primo livello è 99.999.999 stadi si arriva a 10 51 granelli di sabbia come misura massima di diametro dell’universo [236]. 

    Per quanto questo tipo di speculazioni possano parere oziose, ciò che è importante rilevare è la volontà e il tentativo, sia pure ingenuo, di “oggettivare” la realtà ed esprimerla in “valori numerici”. Tutta questa cultura dell’oggettivazione scientifico-matematica, o para-scientifica o pseudo-scientifica, verrà completamente meno con l’avvento del Cristianesimo, quando soltanto i testi della Bibbia divengono la fonte di ogni possibile conoscenza intorno al mondo. Col trionfo politico del Cristianesimo nel IV secolo si va però molto oltre, procedendo alla sistematica distruzione di tutte le manifestazioni di una cultura che, in quanto pagana, non poteva avere che origine demoniaca. Dopo di ciò ha così inizio quella decadenza della cultura occidentale e quella chiusura di orizzonti che porterà al Medioevo e che si riaprirà timidamente soltanto nel XIII secolo grazie ai consistenti apporti della cultura araba, che non aveva mai rescisso i legami con quella greco pagana e ne era stata attenta conservatrice.

    Per comprendere quale fosse la condizione in cui versava la cultura scientifico-matematica nell’Occidente cristiano basti pensare che la numerazione romana dominò incontrastata l’Occidente sino a dopo il 1200, allorché il commerciante-matematico pisano Leonardo Fibonacci non vi portò quella indiana, detta impropriamente “araba” perché da lui appresa dagli arabi [237]. Fibonacci importa le cifre indiane da 1 a 9, più lo 0 che gli arabi chiamano sifr latinizzato in zephirum e poi sintetizzato in zerum. Ma vi fu in molti ambienti culturali un atteggiamento misoneista e tradizionalista che continuò ad osteggiare per secoli l’adozione dei numeri indo-arabi. In un concilio di cardinali avvenuto nel 1299 pare sia stato espressamente proibito l’uso delle cifre arabe perché “demoniache”, e l’arte di Calimala a Firenze, lo stesso anno, in omaggio alle decisioni ecclesiastiche, avrebbe sconsigliato agli associati l’uso dei nuovi numeri per quanto ormai la maggior parte di essi li usasse. Tale uso continuò a non avere vita facile sia per l’ostilità di nicchie di cultura retriva e sia per l’aperta ostilità delle autorità ecclesiastiche, sicché in molti ambienti conservatori si continuò ad utilizzare i numeri romani sino al 1600 inoltrato.

    Relativamente all’importanza delle culture matematiche indiana, mesopotamica ed egiziana, va anche  precisato, senza nulla togliere alla grandezza di Euclide, che la massima parte dei teoremi di cui egli si occupa nei 13 libri degli Elementi era già conosciuta i precedenza in Oriente. Ciò che però è importante sottolineare è che la matematica viene per la prima volta da lui configurata come una vera scienza teorica ed è questo l’importante salto di qualità rispetto alla matematica precedente. La novità euclidea è di carattere metodologico e non contenutistico, sicché afferma senza mezzi termini il Boyer: «Gli Elementi di Euclide non sono soltanto la maggiore e più antica opera matematica greca che ci sia pervenuta, ma costituiscono anche il più autorevole manuale di matematica di tutti i tempi.» [238]

    Si deve infine ricordare che, dopo il crollo della cultura occidentale e in seguito al dominio del Vangelo, va a merito degli Arabi se la matematica in tutte le sue espressioni ha trovato attenzione e ha continuato a progredire almeno sino al XII secolo. Ma a ciò ha anche contribuito l’apporto di matematici greci costretti ad emigrare allorché Giustiniano, nel 529 fece chiudere le scuole filosofiche di Atene [239]. La matematica araba tocca il suo vertice teorico tra l’VII e il XI secolo con al-Khuwarizmi (780-850 circa) e con Thabit-ibn-Qurra (826-901). Pochi sanno che il grande poeta persiano Omar Khayyam (1050 circa-1122) è stato anche un notevole matematico, estensore di un’Algebra, nella quale forniva per le equazioni di secondo grado sia soluzioni aritmetiche che geometriche. [240] Ma non si deve neppure dimenticare che, ancora alla metà del primo millennio a.C., l’India continua ad esportare cultura matematica verso Occidente. Ci informa il Boyer: «Sappiamo che nel 766 era stata portata a Bagdad dall’India un’opera di contenuto astronomico-matematico, nota agli arabi col nome di Sindhind. Si ritiene generalmente che tale opera fosse il Brahmasphuta Siddhānta, anche se può essersi trattato del Surya Siddhānta[241]   

 

 

 

 

                                        2.3 L’ordine: numerico, logico e metafisico

 

    È quasi incredibile come il concetto di ordine abbia potuto diventare così importante per la visione umana della realtà, al punto che esso è diventato una pietra di paragone con cui si confrontano stati e condizioni e si valuta la distanza da esso. Molto ordinato, sufficientemente ordinato, poco in ordine, in relativo disordine sino al caos totale. In tutto ciò il senso matematico dell’homo sapiens ha avuto u ruolo molto importante. Enumerare significa infatti mettere “in ordine” e l’ordine matematico è anche il più ferreo ordine logico possibile: lo è perché è la quantitatività stessa che si presta all’ordine e “si mette in ordine”, mentre la qualità ne sfugge, tendendo anzi al disordine. Se ci si domanda la ragione per cui la matematica ha assunto ruoli che non le competono, potendo diventare forte levatrice e promotrice del pensiero mistico e di quello metafisico, la risposta sta nel fatto che essa è generatrice del modello più elementare di “ordine”: la successioni di numeri.  Per la metafisica l’ordine cosmico è espressione conclusiva di un’origine, di un fondamento e di una sostanza, per citare le ipostasi metafisiche principali.

    Anche la mistica ascetica presuppone in qualche modo un ordine mentale e con esso l’abbandono estatico e la fusione con l’uno-tutto. Il concetto di ordine per la metafisica ovviamente eccede quello di ordine per successione, eppure la successione numerica resta il paradigma astratto di ogni tipo d’ordine. Da esso nascono infinite possibilità estrapolative di creare sequenze ordinate di valori e simboli che prendono i nomi di moltiplicatori, divisori, insiemi, potenze, logaritmi, ecc. A partire da ciò è infatti possibile costruire innumerevoli tipi di sequenze con ordine interno esprimibile in equazioni semplicissime, impossibili in alcun altro linguaggio, sempre “inquinato” da fattori qualitativi. Per questo il passaggio dalla matematica alla logica formale è breve e diretto, basta sostituire ai numeri dei simboli significanti, sostituire alle operazioni matematiche operazioni logiche. Una simil-matematica che funziona producendo “verità” quasi come 2 + 3 = 5.

    Il pensiero metafisico, inconsistente nelle sue premesse ma strutturante l’”ideale” secondo una logica “simil-matematica” gode della straordinaria possibilità di “concretizzare l’inconsistenza” vestendola di verità. Il padre della metafisica, Platone, ha così potuto facilmente mettere a rendita fortunatissimi espedienti logico-dialettici in forma dialogica, sì da fabbricare le formule magiche delle sue verità discorsive.  Naturalmente anche Socrate ha avuto un suo ruolo i questa costruzione con un conosci te stesso che metteva in ombra il conosci il fuori-di-te (la realtà del mondo) che i naturalisti milesii e gli atomisti avevano cercato di proporre. Ma la  genialità platonica ha travalicato ogni eredità, un’astuta grandezza nel creare verità con belle idee congegnate in modo sapiente e brillante, fondendo insieme favola, calcolo, geometria, mistica, logica, dialettica, virtù e fascino letterario-evocativo. Un miracolo che continua ancora oggi a miracolare quelle moltitudini di persone che vanno in estasi intellettuale a leggere i dialoghi del grande ateniese, così grande da meritare il titolo di Gran Pifferaio Magico della teologia filosofale.

    Il cogliere compiutamente l’ordinabilità di numeri, di gruppi, di insiemi, di successioni, di equazioni e di ogni altra espressione matematica, permette anche di capire tale eccezionale paradigma dell’ordine razionale che ha permesso alla logica di mutuarne le forme fino a farsi persino compiuta ontologia com’è in Hegel. Il fortunato e praticato “salto metafisico” dal piano logico-metafisico a quello gnoseologico-ontologico eseguito dai teologi filosofali (che tra i suoi campioni conta oggi Emanuele Severino) nasce proprio dall’ordine logico mutuato da quello matematico, con tutta una serie di estensioni di cui la metafisica, quale compiuta pseudo-logica discorsiva, è ricchissima. Il salto metafisico è infatti da sempre il miglior trucco per il passaggio immediato dal piano sillogistico-formale a quello gnoseologico-sostanziale. Il sillogismo, d’altra parte, è già esso stesso traduzione linguistica di operazioni matematiche portate fuori dal loro ambito e perfettamente funzionante attraverso simboli o gruppi di simboli. Anzi, la logica assume le verità matematiche nella loro forma più forte, quella tautologica, nel senso della “verità” del 2 + 3 = 5. Perciò la deduzione sillogistica “dice sempre il vero” in quanto tautologica conclusione di premesse “vere” ed epifania della verità intrinseca al dedotto. Anche i Kneale, noti storici del pensiero logico, sottolineano come la logica nasca dalla matematica, traducendone i meccanismi computazionali su un piano discorsivo formalmente probativo:

 

Possiamo distinguere tre tipi di discorso in cui si cercano e si richiedono prove. In matematica pura, noi cerchiamo di provare verità a priori astratte; in metafisica, proposizioni generalissime intorno alla struttura del mondo; nei ragionamenti d’ogni giorno (in specie nell’argomentazione politica e in quella forense), proposizioni contingenti. Di questi tre tipi di discorso, manifestamente solo uno, la matematica, corrisponde alla descrizione aristotelica del ragionamento dimostrativo, ed è soprattutto alla matematica che Aristotele attinge esempi di dimostrazione. [242]

 

Che i meccanismi matematici costituiscano la base paradigmatica dei meccanismi logici nella loro autoreferenzialità ce lo aveva detto Aristotele nei Topici (I, 1), distinguendo tra dimostrazione sillogistica e interrogazione dialettica:

 

“Sillogismo” è propriamente un discorso in cui, posti alcuni elementi [premesse], risulta per necessità, attraverso gli elementi stabiliti, alcunché di [discorsivamente] differente da essi. Si ha così da un lato dimostrazione, quando il sillogismo è costituito e deriva da elementi veri e primi, oppure da elementi siffatti che assumano il principio della conoscenza che li riguarda attraverso certi elementi veri e primi. […] Elementi veri e primi sono inoltre quelli che traggono la loro credibilità non altri elementi, ma da se stessi. [243]

 

Ciò  che va sottolineato è che la verità logica finisce per essere sempre nella sua forma classica un a priori astratto, né più ne meno di quanto è che 2 più 3 fa 5, ma con una differenza fondamentale sui piani semantico e gnoseologico. Mentre infatti la verità matematica, in quanto rigorosamente “quantitativa”, è sempre verificabile e certificabile in infiniti modi “extra-antropici”, la maggior parte delle pretese verità logiche fabbricate dai metafisici risultano essere meramente “infra-antropiche”. Esse si legittimano esclusivamente da un punto di vista umano convenzionalmente accettato, ma per nulla dimostrabili fuori dell’orizzonte del “pensato” dell’animale homo sapiens.  

    Sono concetti antropici altrettanto arbitrari quelli resi attraverso l’aggettivo “ordinato” o con l’espressione “in ordine”, poiché nel cosmo tutto può esser definito tale o il suo contrario, a seconda delle coordinate mentali che si assumono e talvolta persino di quelle spaziali e temporali. Ordinato è infatti spesso un “nostro” coniugato anche con un “qui” rispetto a un “estraneo che è “là, e siamo noi a stabilire ciò in base alla nostra collocazione esistentiva e alle nostre valutazioni. Esistendo l’homo sapiens da meno di 200.000 mila anni rispetto ai 5 miliardi d’anni del sistema solare e i 3,5 della vita sulla Terra? Per circa altrettanti futuri il Sole avrà combustibile da bruciare poi collasserà, che senso ha parlare di ordine rispetto a una fenomenologia formativa comunque destinata al “totale disordine” per poi trasformarsi nell’ordine gelido di una nana bianca? Noi vediamo ordine, ma quando il Sole comincerà a collassare quale ordine, ammesso l’assai improbabile ipotesi che l’homo sapiens potesse esserci ancora, potrebbero mai vederci i nostri discendenti?  

    Per comprendere come sia potuta nascere questa bizzarra idea dell’”ordine”, insieme a tutto il  suo corteggio di altre bizzarrie metafisiche, occorre però andare oltre il concetto di ordine matematico da cui ha origine e soffermarci sul concetto di “regolarità”. Regolare è ciò che non riserva sorprese e che in quanto costante e ripetitivo ci permette di formulare una “regola” del suo accadere ed evolvere. Ciò di cui ci dimentichiamo, ancora una volta, è che nulla ci autorizza a fissarla ponendo un ab aeternitate e ancora meno un in aeternum, ma solo col meschino hic e nunc che ci concerne come animali che pensano e formulano concetti. Ma è anche postulando l’eternità che trova fondamento il concetto di ordine come categoria filosofica, in nome di un essere immutabile ed eterno che ne sarebbe garante. Un ordine “di passaggio” è una contraddizione in termini, nel senso che nel divenire tutto è ordine e disordine insieme, in un’alternanza temporale “storica”, mentre il concetto di ordine metafisico è metastorico. L’ordine è diventato ancora più importante dopo Leibniz, il grande teologo filosofale che in un passaggio del § 6 del Discorso di metafisica (1686) sottolineava: «Ciò che è ritenuto straordinario lo è solo rispetto a qualche ordine particolare posto dagli uomini, mentre quanto all’ordine universale tutto è perfettamente armonico. Nulla nel mondo accade senza regola né si può immaginare qualcosa che lo sia.»            

 

                     

 

                        2.3 Matematica come modalità della metafisica

 

    La matematica in Occidente inizia con Euclide, ed è con lui che essa diviene lo strumento indispensabile di ogni ricerca scientifica e di ogni creazione tecnologica; i suoi successori sino al XVII secolo sono dei matematici e dei fisici. Ma a cominciare da Cartesio la matematica diventa la chiave la chiave d’ingresso al cosmo metafisico in quanto matematico-meccaniscistico e “secondo ragione”. Costruire una nuova teologia filosofale “razionalistica” basata sulla matematica è il compito che si dà la metafisica del ‘600 e non senza fini apologetici. Dopo di che diventerà usuale chiamare i matematici e i logici anche “filosofi”, qualifica che ci pare legittima sicuramente per Wittgenstein ma non per altri. Per un verso poi si dà una visione matematica del filosofare e per un altro un filosofare che ha per oggetto la matematica: una “metafisica matematica” e una “filosofia della matematica”, dunque. Sulla prima non abbiamo molto da aggiungere, se non sottolineare come qualsiasi visione matematica della realtà non può che configurarsi come metafisica. Sulla seconda c’è un lavoro ancora in fieri e privo di esiti del tutto convincenti.

    Anche Russell, che si proclamava ateo, era un metafisico che quantunque si opponesse alla teologia cristiana condivideva molte idee di Whitehead, che era sicuramente teologo e platonista [244] già quando insieme scrivevano i Principia (prima del 1910). Whitehead a metà degli anni ’40 affermerà che la matematica è “il linguaggio dei modelli” e che «La storia della scienza dell’algebra è la storia dell’evolversi di una tecnica per la rappresentazione di modelli finiti. L’algebra è un capitolo di quella vasta tecnica che è il linguaggio.» [245]. Ma si riallaccia a Platone aggiungendo poco oltre: «La matematica è la tecnica che meglio permette di comprendere il modello, e di analizzare le relazioni tra i modelli.. Troviamo qui la giustificazione del tema della lezione di Platone.» [246]  Anche Husserl pensa che la matematica sia uno dei fondamenti della realtà fisica, e che «Il mondo aritmetico è qui per me soltanto se e fin tanto che io sono aritmeticamente atteggiato»,  e che essere « “atteggiato naturalmente [e non eideticamente!]” » [247]  è un modo spurio di cogliere la realtà. Per lui la natura (materiale) e la matematica (spirituale) sembrano realtà separate, quanto meno come differenti “stati mentali” dell’uomo.

    In generale la filosofia della matematica è il terreno sul quale si confrontano le analisi sulla natura della matematica; su ciò che essa è, su quali sono le sue denotazioni, su come la filosofia debba o possa rapportarsi ad essa.  Per Husserl la matematica, come già per Hegel, è ontologia. Alla fine degli anni ’20, in una dissertazione dal titolo La matematizzazione della natura afferma:

 

L’ontologia della natura “in sé”: il, necessario in una natura in generale, la forma necessaria, l’essenza ideale della natura e le forme necessarie di determinazione di ogni singolarità che può appartenere idealmente e “in sé” alla natura. Queste valutazioni dell’idea pura sono compiute dalle scienze matematiche pure della natura. [248]

 

Un’essente “in sé”, ci dice Husserl, non può essere che “necessario” e nello stesso tempo “ideale”. La forma più alta dell’essere è matematica e quella “pura” dell’estasi fenomenologia è da non confondere con l’“impura” utilizzabilità scientifica. Inoltre, la singolarità non esiste, essa è “in sé” solo nella totalità in cui è inclusa come stato mentale dell’“idea pura”. Il “metodo a priori” per arrivarci passa attraverso la “verità-in-sé” nei termini seguenti:

 

La metodologia a priori di una conoscenza possibile della natura in sé, attraverso verità in sé: invece che la natura pura in quanto idea (in quanto idea matematica, sopra-sensibile) pensiamo una natura esperita come tale da un essere esperiente, oppure assumiamo la natura matematica con l’in sé delle esperienze della natura (da un punto di vista ontico: delle nature sensibilmente intuibili). Allora abbiamo un’altra idea pura. [249]

 

La «vera natura matematica» si configura in Husserl con chiare connotazioni platoniste nel porsi come ipseità. Si precisa:

 

Ma ciò implica l’idea di un’ipseità identica, dell’in-sé. Le vere caratteristiche sono punti-limite di un possibile perfezionamento. Ma poiché soltanto le caratteristiche matematiche sono caratteristiche “vere”, le vere caratteristiche matematiche costituiscono un limite matematico. [250]

 

Nel grembo di Platone il Nostro può proseguire la sua marcia trascendentale verso un universo olistico, spiritualistico e necessitaristico.

    Per “filosofia della matematica” si intende la disciplina che cerca di definirne la “natura” di essa al di là dell’utilizzo che se ne possa fare. Si possono cogliere due posizioni estreme, quella “teologica” e quella “funzionalista”, più molte altre intermedie. Al primo estremo si i pensa che la matematica sia il fondamento della struttura intima dell’universo, mentre la seconda la considera uno strumento umano per descrivere “funzioni” mediante equazioni. La prima posizione viene chiamata tanto “platonista” quanto “realista” e questo secondo aggettivo deriva dal fatto che i platonisti ritengono la matematica “realmente“ determinante la struttura cosmica (Timeo). Questa visione idealistica ma anche panteistica ed olistica della realtà non è solo degli idealisti ma anche dei logicisti-formalisti. Nella visione teologico-matematica o il Dio-Volontà monoteista o il Dio-Necessità panteista hanno conferito struttura matematica al cosmo.

    Anche nella visione funzionalista c’è un creatore della matematica, ma si chiama homo sapiens (perciò la visione funzionalista è chiamata anche “creazionale”). D’altra parte se la matematica non è “nel” cosmo, non è originaria ed è creata dall’uomo in un tardissimo stadio della storia cosmica. La visione teologica della matematica è definita anche “strutturale”, sicché i tre aggettivi platonista, realista e strutturalista si equivalgono. Quella funzionalista ha generato una pletora di sinonimi che creano una gran confusione. È chiamata “convenzionalista” poiché la matematica è linguaggio convenzionale e istituzionalizzato, ma anche “costruttivista” o “bourbakista” per quanto tali aggettivi indichino qualcosa di un po’ differente. In qualche misura anche la visione “storicista” (di cui ci occuperemo al § 3.2) è funzionalista, vedendo l’evolvere della matematica legato all’evoluzione della cultura e quindi come funzione storica. C’è poi la matematica embodied che vede la formazione delle idee e delle operazioni matematiche come riflessi della percezione corporea della realtà esterna e come effetto dell’operatività umana sulle cose del mondo.

    Nella visione teologico-platonista-realista-strutturalista la matematica è intrinseca alla natura e quindi “da scoprire”, in quella funzionalista-creazionista-storicista essa è invenzione umana e quindi “da creare”. Per la tesi dell’embodiment essa si forma nella mente dell’uomo attraverso le esperienze della quotidianità e tale elementarità si evolve attraverso sviluppi sia di tipo elaborativo che di tipo creativo pressappoco nei termini già posti da Locke nel Saggio sull’intelligenza umana. Il confronto sulla natura della matematica, col ventaglio di opinioni delineatesi a partire dall’Ottocento è importante per la filosofia, nella misura in cui la matematica è importante per il concetto stesso di “conoscere”. Infatti ci sono stati importanti sviluppi, ma non in quella platonista, sempre uguale a se stessa ma dura a morire, continuando a mietere diffusi consensi tra i fisici. Non che i matematici e i fisici che condividono il platonismo siano cattivi matematici o cattivi fisici; in ciò che dicono si tratta solo di distinguere tra l’“operatività”, spesso eccellente, e la weltanschauung teologica che eventualmente la pilota.

    Pitagora è in Occidente il primo a vedere nei numeri degli elementi cosmici, quindi un referente per gli esoterismi numerologici che vedono la matematica come divina (per esempio la teologia massonica). Platone era un pitagorico che pensava la matematica e la geometria rappresentanti l’essenza cosmica e fondatore del “realismo” matematico. Svincolata dalla mistica e del magismo pitagorici la matematica acquista con Platone uno status metafisico più razionalmente fondato, più articolato e più solido. La netta separazione tra il numero divino-ideale (eterno, originario e immutabile) e quello “applicato” nel reale (contingente, apparente, fugace) crea un dualismo ontologico tra essenza e irrilevanza. La prospettiva dualistica (numeri ideali distinti da quelli materiali) si coniuga così con i modelli celesti “fatti di divinità” e i corpi terreni “fatti di materialità imitativa”. Da una parte l’alta speculazione sui numeri e sui modelli divini, dall’altra il volgare calcolo-misura del basso naturalismo materialista.

    Dal punto di vista metodologico partire dalla matematica per derivarne ontologia è sbagliato. Bisogna prima definire l’essere e poi vedere se la matematica gli sia omogenea o no. Si può giungere ad una definizione corretta della matematica soltanto dopo aver capito che cosa sia la fisica cosmica, poi si potrà capire in quale misura la matematica possa o non possa inerirgli. Il cosmo può esser visto da due punti di vista opposti; 1°: come struttura finalizzata e deterministica (e in sottordine: A. necessitata, autonoma, intelligente e intelligibile; oppure: B. creata e ordinata eteronomamente). Nel 2°: come struttura fisica globale nata per caso e poi evolutasi probabilisticamente, in senso sia deterministico che indeterministico. Questione successiva è se la materia sia la sola realtà,  il “tutto” dell’universo, o se possano esserci altre realtà. Se la realtà cosmica è visto come fatta di materia “e basta” l’orizzonte ontologico è “chiuso” e  il materialismo è “assoluto”, se invece si ammette la possibilità di “altro” si delinea un orizzonte post-materialista in quanto possibilista. Il materialismo riduzionista e determinista che crede nella struttura logico-matematica dell’universo è ontologicamente vicino al platonismo.

    L’atteggiamento che vede la matematica come realtà ontologica che soltanto la nostra ignoranza impedisce di cogliere è simile a quello che pensa essere l’ignoranza la causa del non capire che “tutto è materia” e che tutto è in essa. Coloro che vedono la matematica come linguaggio appropriato alla lettura della materia di un universo casuale e indeterministico sono spesso dei post-materialisti. È la nostra posizione: rifiutiamo un materialismo radicale e riduzionista di tipo ideologico sostenendo un possibilismo che si oppone tanto all’idealismo quanto al materialismo ideologico e determinista. Però Platone è sempre tra noi incombente e dobbiamo tornarci per precisare che i suoi seguaci ancora oggi vedono i numeri, le equazioni e le forme geometriche come espressioni diverse di un matematismo che ha un’anima: l’anima del mondo. Tendenzialmente su questa linea si collocavano anche eminenti fisici del ‘900 come Einstein, Schrödinger, de Broglie, Bohm. Paul Davies, uno dei divulgatori più letti e apprezzati su argomenti fisico-matematici, ci ricorda:

 

Prima di tutto, gran parte di quella matematica che ha un’efficacia così spettacolare in fisica è stata elaborata da matematici puri, come esercizio astratto, molto tempo prima che venisse applicata al mondo reale. Le ricerche originali non avevano nessun rapporto con le applicazioni successive, ma in seguito si scoprì che questo “mondo a sé creato dall’intelligenza pura”, per usare l’espressione di James Jeans, poteva esser usato per descrivere la natura. [251]

 

Si sottolinea il fatto indubitabile che spesso formule matematiche apparentemente avulse dalla realtà fisica, a posteriori si scoprono aderenti, ma ciò non autorizza il pensare che il fisico sia matematico. Ma Davies ne è convinto e cita James Jeans (1877-1946), colui che ha sostenuto il rapporto ontologico tra la mente umana  e “la mente del cosmo” e che nel 1931 in L’universo misterioso scriveva:    

 

Noi scopriamo che l’universo mostra dei segni di un potere di progetto o di controllo che ha qualcosa in comune con le nostre menti individuali. Non per quello che abbiamo scoperto, emozioni, moralità o capacità di apprezzamento estetico, ma per la tendenza a pensare in quel modo che, in mancanza di un termine migliore, definiamo matematico. [252]

 

Si tratta di ciò che già la teologia stoica aveva chiaramente sostenuto, poi ripreso in senso spiritualistico da Plotino e dai suoi epigoni dal III al V secolo e rinato in epoca rinascimentale nel pensiero di Nicola Cusano, Marsilio Ficino, Pico, Giordano Bruno, per infine giungere alla divina natura naturans “pensante” di Spinosa nel 1670 [253]. 

    Per comprendere il fondamentale equivoco in tale posizione occorre chiarirci la differenza tra “creazione teorica” e “realtà fisica”, poiché è tipico della mente umana creare schemi e modelli, mentre è tipico della natura non averne affatto. La creazione di schemi e modelli è opera dei linguaggi umani verbale e matematico, che determinano strutture semantiche e connotative, ma niente affatto fisiche. La tendenza psichica (spesso incoercibile nei metafisici!) di far “saltare” la ragionazione logico-matematica al piano ontologico è sempre pericolosamente in agguato. Gli enti fisici sono “grandezze relazionali”, mentre l’homo sapiens crea “relazioni tra significati”, quindi non esiste nessuna omogeneità tra il fisico e l’antropico. Quando in Necessità e libertà noi correlavamo la materialità alla quantità ed alla necessità [254] sottolineavamo che la materia va pensata come un “insieme” di grandezze fisiche, tutte misurabili e computabili. Non esistendo qualcosa come “la” materia, se non come parola “insiemale”, la pluralità differenziata degli enti che costituiscono l’universo sono sempre solo delle “quantità discrete” e in quanto tali quantificabili matematicamente.

    La quantizzazione è ancora maggiore nel mondo subatomico quantunque ogni singola particella, in certe condizioni, possa considerarsi “individuabile”. Gli atomi a cui Leucippo attribuiva figure e posizioni (Aristotele, Metafisica, I, 4) sono diventati quantità a cui abbiamo conferito nomi. Afferma Feynman:

 

Un protone che scambia fotoni con un elettrone che gli danza attorno è chiamato atomo di idrogeno. Due protoni in uno stesso nucleo che scambiano fotoni con due elettroni di polarizzazione opposta vengono chiamati atomo di elio. I chimici hanno un loro modo speciale, e complicato, di contare: invece di dire «uno, due, tre, quattro, cinque protoni » dicono: «idrogeno, elio, litio, berillio, boro.»  [255] 

 

Ci è comodo usare termini insiemali fittizi per indicare quantità plurali, ma solo queste sono reali e le “qualità fisiche” sono sempre quantità (masse, frequenze, ecc.). Ci dice ancora Feynman:

 

Tutti gli atomi, più di un centinaio di tipi diversi, sono fatti di un certo numero di protoni che scambiano fotoni con un egual numero di elettroni. Essi si dispongono secondo configurazioni complesse che determinano un’enorme gamma di proprietà: alcuni materiali sono metalli, altri isolanti; alcuni sono gassosi, altri cristallini; vi sono materiali morbidi e materiali duri, sostanze colorate e sostanze trasparenti; una meravigliosa ed entusiasmante cornucopia di varietà dovuta al principio di esclusione [256] e all’ininterrotta ripetizione di tre semplicissimi eventi. [257] 

 

    Anche la matematica può essere vista come un insiemale: l’insieme di tutti i “valori” e di tutte le “operazioni” che si attagliano agli enti fisici come identificabili, misurabili e quantificabili. Essi rappresentano la complessità e la differenziazione solo in parte strutturata e sistemica di un universo che conosciamo in minima parte: il 5%. La credenza olistica, panteistica, che vede il cosmo come un Uno-Tutto divino collima con la divinità di una matematica sub-stante che lo fonda e lo permea come Dio-Necessità. Ma anche “una” matematica in sé, non esiste, esistono solo le “operatività”, le “funzionalità” e i “valori quantitativi” che in essa si producono, ed anche il “funzionare” e l”inerire” vanno tenuti distinti e non confusi.   

 

 

 

                                         2.4 Ancora sul platonismo e la fisica

 

    Il platonismo tra i fisici è ma differenti sono i gradi di adesione al realismo matematico. Il fisico Lee Smolin osserva:

 

Ogni atomo si muove casualmente, è semplice statistica dei grandi numeri. Il peggiore incubo del platonista è forse quello di scoprire che tutte le nostre leggi sono come queste, di scoprire che tutte le belle regolarità che abbiamo scoperto si possono rivelare nient’altro che regolarità statistiche, dietro le quali si cela solo il caso o l’irrazionalità. [258]

 

Un incubo ideologico che attenta alle “verità” platoniche quale porto sicuro di superiore e vera  sapienza. Ancora Smolin:

 

La distinzione fra un’equazione che si ritiene essere il vero specchio della natura e un gioco le cui regole colgono alcune regolarità osservate è spesso espressa distinguendo fra il concetto di teoria e quello di modello. Il concetto di teoria porta con sé, nella sua etimologia come nella sua pratica corrente, il desiderio mistico di cogliere la realtà attraverso l’espressione simbolica. Un modello è solo un gioco, inteso a mimare un qualche aspetto del mondo di cui si sono osservate delle regolarità che possono venire riformulare sotto forma di regole semplici. Non c’è dubbio che, qualunque cosa succeda, gli scienziati continueranno a imparare cose che riguardano il mondo giocando i loro giochi.[259]

 

In realtà, teorie e modelli sono due facce di uno stesso gioco, che nei casi più seri tenta un accordo con la realtà osservazionale e sperimentale”, in altri è solo creazione arbitraria di modelli teologico-matematici. 

    Come avvio al presente paragrafo seguiamo il bel saggio di John David Barrow Perché il mondo è matematico?, un resoconto di alcune lezioni tenute nel 1991 a Milano dal fisico-matematico inglese e quasi contemporanee al Theories of Everything, di cui è sintesi. Barrow è stato sicuramente un platonista in matematica e un olista in fisica, quantomeno all’epoca della sua collaborazione con Frank Tipler, in seguito meno. Vediamo una prima asserzione:

 

Mentre le nostre indagini si allontanano sempre di più dall’ambito dell’esperienza umana diretta, scopriamo che le descrizioni matematiche che ci servono diventano sempre più astratte ma anche più precise, più astruse ma anche più accurate: e se osserviamo più da vicino il rapporto tra la matematica e una scienza esatta come la fisica scopriamo che si tratta di un rapporto di simbiosi. [260] 

 

Sul fatto che l’astrazione coincida con la precisione del dato numerico, che il senso comune possa considerare astruso l’astratto-preciso e che matematica e fisica si coniughino strettamente, siamo del tutto d’accordo. Anche il suo connazionale e collega Roger Penrose  la pensa dal più al meno allo stesso modo in prospettiva olistica.

   L’argomento più efficace dei platonisti-olisti Barrow ce lo ricorda sinteticamente:

 

Esistono esempi sorprendenti di come alcuni studiosi abbiano scoperto intricate strutture matematiche senza prendere minimamente in considerazione la possibilità di applicarle praticamente nell’ambito delle altre scienze, per poi scoprire che le loro creazioni corrispondevano esattamente a quello che serviva per meglio spiegare qualche strano fenomeno che si verificava nel mondo e, in seguito, a predirne di nuovi. [261]

 

Aggiunge: «Ma esistono anche esempi della tendenza opposta, in cui vediamo emergere nuove strutture e concetti matematici dallo studio della fisica.» [262]. Dunque ci sono equazioni matematiche astratte che si rivelano a posteriori perfettamente aderenti al mondo fisico insieme a scoperte di strutture fisiche foriere di nuova matematica. Conclude Barrow il primo capitolo:

 

Tutti questi esempi confermano lo stretto rapporto tra matematica e funzionamento del mondo naturale: la matematica funziona. Che si tratti dello studio delle più piccole particelle elementari della materia o delle indagini sul più lontano spazio intergalattico, le descrizioni e le previsioni matematiche che facciamo scarabocchiando sui nostri blocchi di appunti sembrano averci fornito la chiave che schiude i segreti dell’Universo, e questa chiave è più potente di quanto qualsiasi numerologo dell’antichità possa mai aver immaginato. [263]

 

Asserzioni che stimolano alcune domande, a cominciare a quella già ricordata: le equazioni matematiche strutturano l’universo? Se il cosmo materiale è un Uno-Tutto matematico per quale ragione i numeri naturali interi sono totalmente assenti nelle costanti fisiche? E perché le equazioni fisiche sono perlopiù complicate? Perché le particelle elementari hanno stati e comportamenti probabilistici e solo statisticamente e su  grandi numeri sono piegabili a una determinazione? Perché tanta complessità di equazioni esplicative e di costanti settoriali se la realtà fisica fosse olistico-matematica ? E infine,  perché mai un Uno-Tutto dovrebbe essere stracolmo di elementi e di fattori “particolari” e di “singolarità” (situazioni in cui le leggi fisiche note perdono validità)? Il concetto di Uno-Tutto pare essere del tutto incompatibile con la realtà fisica, che è poliedrica e complessa, spesso priva di corrispondenze matematiche.

    Le risposte dei monisti-olisti alle questioni poste è quasi sempre quella di un “non ancora” dovuto alla nostra ignoranza o alla nostra incapacità di cogliere l’Uno. Sono però quasi novant’anni che di fronte a due regioni della realtà inconciliabili dal punto di vista fisico-matematico, quella subatomica (la RgP) e quella galattica (la RgG), eserciti di fisici-teologi sperano in una Theory of Everything (TOE). Con tutto il rispetto per coloro che a tale attesa messianica si abbandonano ci corre l’obbligo di due osservazioni. La prima: per la scienza moderna novant’anni di ricerca moltissimi La seconda: tutte le leggi e le teorie fisico-matematiche oggi elaborate riguardano non più del 5% di tutta la materia-energia presente nel cosmo. Ciò significa che una TOE, al di là delle speranze, sembra allontanarsi, e poi che il 95% della materia-energia ora ignota potrebbe rispondere a leggi differenti, con ulteriori complicazioni teoriche. La realtà globale (noto + ignoto) è quindi enormemente più complessa di quanto ci tocchi oggi constatare nel “visibile”, mente l’“oscuro” (venti volte più vasto e pesante) non può che racchiudere un’ulteriore pluralità di particelle.

   Torniamo ora a Barrow, il quale, dopo una lunga e documentata disquisizione sulle origini della matematica nel secondo capitolo, torna nel terzo ad occuparsi di Che cos’è la matematica? analizzando diverse posizioni filosofiche. Egli distingue quattro indirizzi teorici principali («grandiose visioni del mondo» matematiche): 1°. empirista-invenzionista, 2°. idealista, 3°. operazionalista, 4°. logicista, che vede come le [264]. Dal nostro punto di vista nessuno di questi indirizzi è veramente interessante, mentre nessuno degli indirizzi che noi considereremo compare. Egli delinea i quattro atteggiamenti [265] senza prendere apparentemente partito e osserva:

 

È interessante chiedersi se le leggi della Natura contengano o meno elementi non-computabili. Il tentativo di creare una teoria dei quanti per l’intero Universo ha già suggerito questa possibilità. Esistono attributi dell’Universo potenzialmente osservabili che sono definiti da somme infinite e di termini che non sono computabili complessivamente. Non è possibile inserirli all’interno di un calcolo sistematico che applichi ripetutamente gli stessi principi. Ogni elemento per esser calcolato richiede l’utilizzazione di principi nuovi e qualitativamente diversi. Purtroppo, non sappiamo se sarebbe possibile determinare il valore di questi elementi osservabili in un modo diverso ma che sia anche computabile. [266]

 

Esiste dunque un orizzonte di lettura matematica dell’universo che però dovrebbe in parte rinunciare alla “nostra” computabilità? In parte, poiché:

 

Il mondo potrebbe esser matematico e abbondare di funzioni computabili, e tuttavia esse potrebbero avere una tale profondità e complessità che noi non saremmo mai in grado di calcolarle anche se i nostri computer continuassero a lavorare per migliaia di anni. [267]

 

La computabilità parrebbe implicare impossibilità pratiche e Barrow nota che ciò potrebbe essere persino sfruttato per elaborare codici di segretezza molto sofisticati, violabili teoricamente ma non  praticamente, sia per i “tempi” enormi di elaborazione e sia per mutamenti del sistema programmati con “funzioni trabocchetto”.

    Una domanda che il Nostro ovviamente non si fa, ma che noi, in quanto filosofi, dobbiamo porci è se, dando per scontato che l’universo sia interamente computabile e a nostra portata, tenendo conto che gli orizzonti della matematica continuano ad ampliarsi, se riusciremo mai a venire a capo dei segreti dell’universo in relazione ai “tempi”. Un primo discrimine da porre è se la specie homo sapiens sopravviverà abbastanza a lungo da farlo, poiché se durasse ancora solo qualche centinaio di migliaia di anni, ciò non sarebbe possibile. Se invece essa, in virtù di un particolare privilegio, fosse relativamente “eterna”, cioè durasse sino all’esaurimento dell’energia solare (tra 4-5 miliardi d’anni) “forse” ci sarebbero possibilità reali. Ma ciò solo se l’universo fosse “totalmente computabile”, poiché se anche solo anche in minima parte non lo fosse (come pare supporre Barrow) sarebbe impossibile. E inoltre: siamo proprio sicuri che “questa” matematica sarà in grado di leggere il restante 95% dell’universo?

 

 

 

 

                                  2.6 Sacralità del numero e numerologia religiosa

 

    Dobbiamo ora occuparci dei numeri come simboli sacri, poiché nella storia dell’uomo hanno nutrito le religioni in ogni loro espressione e forma. Tuttavia, la sacralità dei numeri in generale è sempre “rifluente” nell’unità, avendo le numerologie base ed origine nell’ 1, sicché Platone ci insegna che è l’1 a creare tutti gli altri numeri per concrescenza addizionale. L’Unità è per la teologia numerologica la fonte originaria di una pluralità che ritorna in essa quale Totalità. Attraverso una circolarità mistica l’Uno e il Tutto si ritrovano congiunti a racchiudere la realtà, essendo l’Unità Totalità in estensione e sviluppo e la Totalità Unità per contrazione e sintesi.

    Il numero come espressione del sacro ha avuto origine nella cultura indiana a partire già dalla metà del II millennio a.C. Se pure la computazione e la misurazione, come strumenti “pratici” legati all’agricoltura, sono meglio documentate in area mesopotamica ed egiziana è in ambito vedico che hanno origine matematica e geometria come simboli del divino e strumenti del sacro. Poco più tardi i Babilonesi simboleggiavano ogni loro divinità con un numero: il 10 era Marduk, il 15 Ishtar, il 20 il dio-sole Samash, il 30 il dio della luna Sin, il 40 il dio della terra Ea; il 50 il dio dell’acqua, Enlil; il 60 il dio della perfezione, Anu [268]. Il numero come simbolo del divino trova più tardi in ambito greco un campione in Pitagora, rifluisce nel Neoplatonismo e quindi nella Qabbalah, dove l’En-Soft indica sia l’Infinito che l’1. Esso, la prima delle 10 Sephirôt, è anche la Keter (“Corona di Dio”). L’Infinito visto come originato dall’Uno (Dio-in-sé) è espresso nell’Emanazione (Dio-fuori-di-sé) a costituire l’Uno-Tutto-Infinito cabbalistico. Le Sephirôt  sono sia i 10 numeri originari e sia le 10 Potenze-Manifestazioni di Dio: 2 = Sapienza, 3 = Intelligenza, 4 = Amore, 5 = Giustizia, 6 = Pietà, 7 = Eternità, 8 = Maestà-Onnipotenza, 9 = Fondamento-Origine, 10 = Dominio-Potere. 

    Un piccolo panorama dei significati dei numeri vede l’1 e in tutte le culture, come Origine, Monade suprema, Dio, creatore degli altri numeri. Prima del V sec.a.C. il cinese Hoi-nan-tseu vede l’1 come la radice di tutte le cose del mondo e per Wei-kiao il numero 1 costituisse la sostanza della ragione. Per Lao-tse è la ragione a produrre l’1 come sua espressione fondamentale, confermando quel legame tra concetti numerologici e concetti teologici di cui il monismo è chiara espressione.  La Diade è principio creatore (o Sapere-Potere) che esteriorizza Dio nella totalità dello spazio e nel tempo. Ma siccome è portatrice di antinomie e opposizioni la perfezione della Monade nel 2 è già compromessa. La dualità è molto importante nella cultura cinese perché differenzia il maschile dal femminile (Yang e Yin). Il 3 in generale tripartisce il divino nella sua “perfezione”, da ciò la Trimurti indiana (Brahma, Shiva, Vishnu), le due triadi babilonesi (Anu-cielo, Ea-terra, Enlil-acqua) e (Sin-Luna, Shamash-Sole, Ishtar-Venere), quella egizia (Osiride-Iside-Horus) ed infine la Trinità cristiana (Padre, Figlio, Spirito Santo). Nelle teologie arcaiche compare anche la triade Padre-Madre-Figlio, mentre la via alla santità o all’eroismo è costituita molto spesso da 3 prove da superare. La Triade è anche sintesi di Monade e Diade espressa cll Delta, il triangolo divino (Δ), in cui si inscrive l’occhio di Dio.

    Il 4 indica le “direzioni” o “partizioni” del Tutto e lo si ritrova nei 4 elementi del cosmo, le 4 stagioni, i 4 umori del corpo, le 4 nobili verità buddhiste, le 4 lettere del tetragramma di Yahvè. Nel Cristianesimo 4 sono i fiumi del Paradiso, 4 sono i grandi Profeti (Isaia, Geremia, Ezechiele, Daniele), 4 gli Evangelisti, 4 i Padri (Agostino, Ambrogio, Girolamo, Gregorio). Il 5 è la sintesi di Diade e Triade e nella religione vedica è il fattore creazionale simboleggiando  anche il sacrificio, sì che nella Bŗhadāranyaka Upanishad (1, 4, 5) si parla di sacrificio quintuplo, di vittima quintupla e di quintuplo uomo sacrale [269]. Nel Rigveda (2000-1600 a.C.) si parla dei mattoni (di dimensioni fisse) per costruire gli altari, sempre a base 5 o multipli (10 e 15) con quello a forma di falco costituito da 1000 mattoni in 5 strati di 200 ciascuno. Anche le stagioni nella cosmologia indiana sono 5: primavera, stagione calda, stagione piovosa, autunno, inverno.  La parte più sacra della bibbia è il Pentateuco, 5 libri, dettati direttamente da Dio a Mosè (il Pentateuco).  Il 6 indica perfezione e anche nella Bibbia Dio crea il mondo in 6 giorni. Doppio del 3 esso è anche doppio triangolo nell’Esagramma di Salomone o Stella di Davide. Ma il 6 è anche la base dei numeri satanici e il 666 è il “Numero della Bestia” nell’Apocalisse (13, 18).

    Il 7 è un numero sacro molto importante e diffusissimo. Il creatore del cosmo indiano Prajāpati è smembrato in 7 parti e poi ricostruito nei riti. In ambito mesopotamico è simbolo di distruzione e rigenerazione indicante Nusku, il dio del fuoco e della luce con le sue settuplici fiamme e raggi, ma 7 sono anche i terribili demoni Utukku, detti anche Sibitti (“i Sette”). Nel mondo egizio il 7 è la base al quale riferirsi per le procedure dei riti e degli incantesimi, le cui formule vanno ripetute 7 volte [270]. Anche nell’Antico Testamento il 7 ha un ruolo importante: nel Genesi 7 giorni dura la settimana nuziale (29, 28) e il faraone sogna su base 7 (41, 17-24), nell’Esodo la Pasqua dura 7 giorni e con 7 braccia è la Menorà, nel Levitico il sacrificio è di 7 agnelli (23, 15-18), la Festa delle Capanne va festeggiata il 7° mese e deve durare 7 giorni (23, 33-36). In Giosuè 7 sacerdoti suonano  7 trombe e il 7° giorno ripetono per 7 volte il percorso sacro.  Nell’Apocalisse, 7 sono le chiese, i candelabri, i sigilli,  le trombe, i segni e i calici. Nella religione islamica 7 sono i percorsi sacri alla Mecca.

    L’8 non è molto utilizzato, ma nel Buddismo è ottuplice il Sentiero alla santità, e nel Cristianesimo si considera giorno “8° della Creazione” quello della Resurrezione di Gesù quale inizio della nuova èra. Il 9 è potenza di 3 e triplicazione della triade, nel mondo egizio le pesediet sono gruppi di 9 divinità mentre in quello cinese (I-Ching e Li-Chi) 9 sono i Riti Fondamentali; in Epoca Han: 9 le fonti del sapere, 9 le province della terra (l’umano) e 9 le parti del cielo (il divino).  Non meno importante nel Cristianesimo: 9 sono i cori angelici, 9 le sfere cosmogoniche. Il 10 rappresenta la sacra tetraktys pitagorica, simbolo di eternità e perfezione e 10 sono i Comandamenti come 10 sono le Sephirot (emanazioni divine cabbalistiche).  L’11 è “dozzina del diavolo”, che se ne appropria per falsificare il sacro aggiungendovisi per fare il  12. E poi: 12 sono le stelle dello Zodiaco, 12 le divinità dell’Olimpo, 12 le tribù di Israele, 12 i fratelli di Giuseppe, 12 gli Apostoli. Il 13 è numero di sventura perché Giuda è il 13° commensale dell’Ultima Cena. Secondo un’altra leggenda nel “covo di 12 streghe” il Diavolo è il 13° ospite. Il 22 in ambito mediterraneo è riferito alla sfera del sogno e riguarda aspirazioni e speranze.

    Il 25 ha un’importanza particolare, poiché, riferito al mese di dicembre,  è il punto medio tra il 21 e il 28, un intervallo di sei giorni entro il quale, da tempi remotissimi, era stato individuato il solstizio d’inverno, il momento cruciale in cui l’anno vecchio muore e nasce il nuovo. Carico di significati, il 25 dicembre è infatti il giorno in cui simbolicamente rinasce il Sole e con la luce e la vita. In tale data nascono perciò moltissime divinità, dagli egizi Osiride e Horus, al sumero Dummuzi (chiamato Tammuz a Babilonia), dal Mitra indiano al dio supremo del pantheon babilonese Baal-Marduk. Ma anche l’arcaico dio-sole mesopotamico Utu e il corrispondente Shamash babilonese, e poi il persiano Mithra, l’anatolico Attys e il greco Dioniso. Si tratta dei modelli arcaici su cui si innesterà la figura di Gesù Cristo come Dio-Figlio, ed infatti anch’egli muore-per-risorgere come già Mithra: dio di una religione salvifica, figlio di una vergine e di un dio, che muore e rinasce il 3° giorno. Gli dèi “del 25 dicembre” sono spesso concepiti da una vergine fecondata da un dio, com’è anche l’anatolico Attys, figlio e nello stesso tempo amante di Cibele.

    Agli dèi del 25 dicembre si legano altri simboli: la solarità, la luce, la nascita al buio nel disagio di una grotta, la funzione redentrice e salvifica, la morte e la resurrezione. Mitra è divinità solare, portatrice di luce e forza in un mondo dominato dal buio e dal dolore; verrà unificato dai Romani col Sol Invictus nel III secolo e Costantino, prima di convertirsi al Cristianesimo, era un suo devoto. Anche al greco Heracles e ai germanici Odino e Freyr viene attribuita la nascita al solstizio, ed anche il siriano Adone e il Bacco romano  nascono in tale data. Inoltre vi nascono divinità femminili come la siriana Atargatis, la frigia Cibele e la fenicia Astante, per cui Gesù a nascere il 25 dicembre è arrivato buon ultimo. Da notare però che il 25 dicembre viene definito solo nel IV secolo, perché prima molti lo volevano nato in gennaio. Il 33 è raddoppio del sacro 3 in un 3 + 3, apoteosi di Cristo morto/risorto a 33 anni e ispiratore dei 33 boccioli della scala mistica bizantina.

    Il 40 indica percorso salvifico e iniziazione: 40 sono gli anni passati dagli Ebrei nel deserto prima di raggiungere la terra promessa e Gesù trascorre 40 giorni nel deserto prima di iniziare la predicazione. Infine: tra i grandi numeri il già ricordato diabolico 666 mentre il 1000 è simbolo di immensità, di ciclo cosmologico sacrale, di onniscienza e onnipotenza.  Nel Puruşasūkta o Inno dell’uomo cosmico del Rigveda (I, 67, 5) viene specificato che «L’Uomo (Puruşa) ha (5  x 200) 1000 teste, ha 1000 occhi, 1000 piedi. Coprendo la terra da parte a parte, egli la supera ancora di 10 dita.» [271]  Il numero 1000 è infatti il simbolo dell’onniveggenza proprio anche di altre divinità come Vayu, Veruna, Indra, Agni. La divinità duplice e  metamorfica Agni-Prajāpati ha 1000 occhi. In ambito cristiano (Apocalisse, 20, 1-8)  1000 anni dura il regno di Cristo e l’incatenamento di Satana.

    La sacralità dei numeri compare nei Veda ma è nei Brahmanā, tra il 1000 a.C e il 600 a.C. che diventa canone regolativo dei sacrifici, con precisi riferimenti alla costruzione degli altari in termini aritmetico-geometrici. È probabile che dalla contigua area persiano-mesopotamica o da quella egiziana la simbolico-religiosa della matematica indiana passi in Grecia, sicché Pitagora può qui introdurla in Grecia come culto esoterico. L’utilizzo dell’equivalenza della somma delle superfici dei due cateti con quella dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo è nei Shulba Sutras indiani sin dal IX secolo a.C. in riferimento alla costruzione degli altari. Sulla scia di quanto già fatto da Seidenberg nel saggio Gnomon del 1999 Paolo Zelllini riprende con dovizia di particolari la priorità indiana, precisando inoltre che il puruşa (nei Veda l’uomo originario) è diventato unità matematica di lunghezza corrispondente all’altezza di un uomo orante con le braccia levate. Per successivi incrementi del puruşa al quadrato si giungeva al 101° altare, di superficie uguale a 101,50  puruşa quadrati . Le dimensioni degli altari (il cui tipi prescritti erano 94) erano così poste in progressione di 7½, 8½, 9½ sino ad arrivare al 94°, di dimensione 101½  [272]. Il dio-creatore Prajāpati è “settuplo” smembrato, lo si ricostruisce nei riti ma mai oltre il 101° altare, poiché il Prajāpati-Universo non può essere più di 101,50  puruşa quadrati.

    In Pitagora i numeri saranno le basi dell’essere e i loro intrecci la sua trama nascosta per i fedeli di una comunità elitaria e segreta, riservata a pochi eletti, totalmente spogliata di ogni finalità pratica e dove il fondatore era un semidio. Gli aderenti erano tenuti a guardare a Pitagora come un semidio latore di una verità infallibile, così nasce l’ipse dixit come verità assoluta, indiscutibile e imprescindibile. Le  ricerche sistematiche messe in opera da studiosi e storici della matematica a partire dalla seconda metà del Novecento hanno messo in luce come l’eurocentrismo sia responsabile della sopravvalutazione di Pitagora. La testimonianza più antica su di lui ce la dà Isocrate (436-338 a.C): 

 

Tra questi [estimatori della religione egiziana] è anche Pitagora di Samo, il quale, andato in Egitto e fattosi loro discepolo, portò in Grecia, per primo, lo studio d’ogni genere di filosofia, e più degli altri si prese cura dei sacrifici e delle cerimonie religiose. [273] 

 

Nessun accenno alla matematica, però l’espressione «ogni genere di filosofia» fa pensare che per Isocrate molto della cultura greca, e quindi anche la matematica, venisse dall’Oriente e l’Egitto, per quanto geograficamente non molto più a est della Grecia, era a visto come “orientale” per cultura. Dopo i fasti di millenni lontani esso era stato assoggettato da Cambise nel 525 a.C. e divenuto satrapia persiana con Dario, punto estremo verso Occidente, di un impero che andava dall’attuale Tunisia all’Indo. In questa sorta di koiné persiana della metà del I millennio a.C. dai porti egiziani passano sia beni materiali che cultura in un’epoca in cui, almeno dal punto di vista scientifico e tecnologico, la Grecia è arretrata, per quanto in essa nel IV sec.a.c. nascerà con Euclide il pensiero matematico-scientifico. Solo nell’ellenismo greco, specialmente ad Alessandria, ciò che altrove era stato perlopiù tecnologia si fa scienza, attraverso una teoria analitica del sapere del tutto ignota a Indiani, Mesopotamici ed Egiziani [274].

    Per Pitagora il numero è sia un’arché, un’origine, e sia una causa della realtà tutta, più o meno come lo saranno le idee platoniche. Aristotele (Metafisica, I, 5, 985 b, 25-35) scrive:

 

I numeri occupano naturalmente il primo posto tra tali principi, e i Pitagorici credevano di scorgere in quelli, più che nel fuoco o nella terra o nell’acqua, un gran numero di somiglianze con le cose che esistono e che sono generate, e asserivano che una determinata proprietà dei numeri si identifica con la giustizia, un’altra con l’anima e con l’intelletto, un’altra ancora col tempo critico, e che lo stesso vale presso a poco per ciascuna delle proprietà numeriche. Individuavano inoltre nei numeri le proprietà e i rapporti delle armonie musicali e, insomma, pareva loro evidente che tutte le altre cose modellassero sui numeri la loro intera natura e che i numeri fossero l’essenza primordiale di tutto l’universo fisico. [275] 

 

Molto esoterismo e poca matematica, dunque, ma ci penserà Platone a farne un mito. L’enfasi prodotta sul suo nome come padre della matematica da parte del padre della metafisica si appoggia su una sintesi del Pitagorismo con l’Orfismo in una nuova mistica “razionale” includendovi la metempsicosi (o metemsomatosi) come garante di una “religione della virtù”. Ma Pitagora è personaggio interessante non già per aver inventato un teorema che suo non è suo, ma per aver fatto della numerologia una religione nuova e per aver introdotto la trasmigrazione delle anime che i brahmani avevano elaborato duemila anni prima. Nei Theologumena Arithmetica (di ignoto) si trova il seguente passaggio che ci dà un’idea di quale fosse la mentalità dei suoi epigoni:

 

Ora, poiché il cubo di 6 è 216, numero che esprime, quando si aggiungano i 6 giorni impiegati dal germe per farsi schiumoso e iniziare la germinazione, il tempo necessario alla nascita delle cose che nascono in 7 mesi, il pitagorico Androcide, autore del libro Sui simboli, e il pitagorico Eubulide, e Aristosseno [fr. 12 Wehrli] e Ippoboto e Neante [F.Gr.Hist. 84 F 33, II, 200] che ci tramandano le notizie su di lui ,dissero che le sue reincarnazioni avvennero ad intervalli di 216 anni. Pitagora rinasce dunque e rivisse, secondo che tramandano costoro, dopo il primo sviluppo e il ritorno del cubo del 6, numero generatore di vita insieme ricorrente per la sua sfericità; e ancora rinacque dopo altrettanti anni. Tutto questo è dimostrato dal fatto che l’anima di Euforbo ritornò in vita nei tempi espressi da questo numero; si trova invero che passarono appunto 514 anni dalla guerra di Troia a Senofane fisico […]  [276]

 

Petrone di Imera, secondo la testimonianza di Plutarco (De defectu oraculorum, 22, 422 b), ci dà un ulteriore esempio del pensare pitagorico:

 

[Petrone] dice che i mondi sono 183, disposti secondo la figura di un triangolo, e che in ogni lato del triangolo ci sono 60 mondi. Gli altri 3 sono si trovano nei rispettivi angoli. E tutti si toccano secondo la loro successione, e tutti si muovono lentamente [in circolo] intorno, come in una danza. [277]

 

Poca matematica e molta numerologia con teologico-esoteriche e assai poco matematiche del pitagorismo  miranti a “numerificare” la realtà. Negando poi l’esistenza dei numeri irrazionali (non abbastanza perfetti per essere sacri) egli li aveva “geometrizzati”, e così la √² è vista come simbolo della diagonale del perfetto quadrato del numero più sacro: l’1. 

    Il numero 1 per Pitagora era “parimpari” come creatore di tutti gli altri numeri. Platone afferma in Repubblica (VII, 524 c):

 

Sarebbe bene, caro Glaucone, che questo insegnamento fosse reso obbligatorio per legge e che gli aspiranti alle somme cariche dello Stato fossero convinti [c] a orientarsi verso lo studio dell scienza del calcolo e ad affrontarla non per vili interessi, ma per poter spingersi, grazie ad essa, alla contemplazione puramente intellettuale della natura dei numeri. Insomma, non va coltivata per tenere la contabilità delle vendite e degli acquisti come farebbe un commerciante o un bottegaio, ma per condurre la guerra e per facilitare la radicale conversione dell’anima del mondo del divenire a quello della verità e dell’essere. [278]

 

I numeri vanno perciò “contemplati” dal reggitore dello stato non in riferimento a problemi di economia o di gestione di risorse e di uomini ma a fini religiosi ed etici.

    La religione numerologica ha in Platone il suo campione e alimenta poi la teologia cristiana sin dalle origini permeandola profondamente, ma con la cassazione di un’inaccettabile metempsicosi.   Per Platone il numero è “idea” quindi “esiste necessariamente” e l’Uno è l’origine (se ne ricorderà Plotino). Siccome Essere e Uno sono la stessa cosa (Parmenide, 141 c – 143 d) l’Unità è anche Essere-Tutto-Necessità, poi viene il 2 come 1+1, il 3 come 1+1+1 e così via quali specchi del Tutto (143 e). Il 2 deve poi “necessariamente” ammettere il suo raddoppio nel 4 e così il 3 triplicarsi nel 9, accrescimenti pari/dispari all’infinito (144 a) che Platone vede (Filebo, 24 a – 25 b) finire nell’illimitato. Fede sull’essenza cosmica dei numeri così manifestata:

 

Se dunque è così non credi che ci sia qualche numero che non sia necessariamente? In nessun modo. Se allora l’Uno è, necessariamente anche il numero è. Ma se c’è il numero, c’è molteplicità e infinita pluralità degli enti; non é forse il numero molteplicità infinita e partecipe dell’Essere? Senz’altro. Dunque, se il numero nella sua totalità partecipa dell’Essere, forse ne partecipa anche ogni parte del numero? Sì. [279]

 

Sin qui parrebbe avvalorato il famoso “parricidio”, ma subito dopo si vede che non è così:

 

Dunque, se il numero nella sua totalità partecipa dell’Essere, forse ne partecipa anche ogni parte del numero? Sì. Allora, l’Essere è suddiviso in tutta la molteplicità e non manca a nessuno degli enti, né al più piccolo, né al più grande? Ma non è assurdo aver detto questo? In che modo, infatti, potrebbe mancare l’Essere a uno degli enti? […] In ogni singola parte dell’Essere, allora è presente l’Uno, il quale non manca ad alcuna, né alla più piccola, né alla più grande, né a nessun’altra. [280]

 

Mera “partecipazione”? Niente affatto: essendo l’Essere l’Uno, ed essendo in ogni sua parte e ognuna di queste in Lui, ciò che esiste realmente e necessariamente è solo l’Essere-Uno-Tutto-Necessità.

    Anche il cosmo è uno e perfetto (si ricordi che etimologicamente κόσμος = ordine) e anche le sue parti in misura inferiore. La sfera è la forma perfetta (Timeo, 33 b – c) e l’Essere è quindi sferico, le sue parti lo fanno tale per addizione e gli elementi-base sono triangoli:

 

Dunque, si scelgano due triangoli, coi quali sono stati prodotti il corpo del fuoco e i corpi degli altri elementi; l’uno sia isoscele, e l’altro che abbia il quadrato del lato maggiore triplo e quadrato del minore. [281]

 

Con due tipi di triangoli “sono stati prodotti” dal Demiurgo i “corpi” del fuoco, l’aria l’acqua e la terra. Ma per fare un cosmo ci vogliono “forme” divine che solo i solidi geometrici regolari hanno. Ed allora:

 

Alla terra diamo la forma cubica, infatti dei quattro generi è il più immobile e il più plasmabile dei corpi […] All’acqua daremo la forma che delle rimanenti è la più difficile da muoversi [l’icosaedro], e al fuoco, la più mobile di tutte [il tetraedro] e all’aria quella di mezzo [l’ottaedro]. E così al fuoco daremo il corpo più piccolo, all’acqua quello più grande, e quello intermedio all’aria. [282]  

 

Così operando il Demiurgo ha reso la materia informe forma perfetta e perciò “reale”, stabile, vera: la transustanziazione dell’ente matematico in materia è compiuta. Il Dio-Bene crea le idee, le idee creano le forme geometriche, il Dio-Artefice le usa le per fabbricare poliedri che vanno a formare il cosmo-sfera.

    Se per le forme geometriche il discorso è conseguente per i numeri è un pò più sfilacciato, ma non meno affascinante. I libri VIII e IX di Repubblica ce ne offrono bellissimi esempi. Sono i “numeri nuziali” (545 c – d) a determinare una prole sana e virtuosa e non certo la buona salute dei genitori, il loro accordo, il loro amore, l’igiene in gravidanza, le cure mediche, le condizioni ambientali, l’allattamento, l’educazione parentale. Siccome «i figli di dèi hanno periodi scanditi da un numero perfetto» anche per i mortali sani e virtuosi ci vogliono numeri giusti:

 

Da ciò il rapporto fondamentale di quattro a tre, unito al cinque, dà luogo a due armonie, quando esso sia per tre volte aumentato. Una di queste armonie è di due fattori uguali, cento per cento; l’altra, invece, è per un verso lunga uguale, per l’altro diversa. L’una è formata dal numero che risulta dalla diagonale del cinque, diminuita di uno e dalla diagonale irrazionale diminuita di due, moltiplicate per cento, l’altra dal cubo del tre, anch’esso moltiplicato per cento. Ora, un tale numero geometrico nel suo complesso ha il potere di determinare la natura, buona o cattiva, della prole» [283]

 

Una delle spiegazioni più accreditate è che il numero nuziale geometrico abbia come modello il triangolo rettangolo con cateti di 4 e 3 ed ipotenusa di 5. Il rapporto ideale è 4/3 elevato alla terza potenza, che unendosi al 5 dà luogo a due “armonie”, ecc. ecc. Di passaggio in passaggio le due armonie si rivelano come il 100 e il 75, che però vanno moltiplicati per 100. Quindi, i numeri armonici, per nozze perfette e per figli sani, belli, intelligenti e virtuosi, sono 10.000 e 7.500. Un certo Geiser (Die Rede der Musen ūber den Grund von Ordnung und Unordnung: Platon, in Studia Platonica, Amsterdam 1974)  ha pensato a tali numeri come giorni, e si è preso la briga di calcolare il risultato in anni ottenendo il 27, il 5 e il 20, 5. [284]

    Il rapporto tra il re, che è sempre buono, e il tiranno, che è sempre cattivo, è anch’esso numerico e vale 729, che è (3 x 3) 3. Infatti: «per ciò che concerne l’autenticità del piacere, si troverebbe che, a moltiplicazione effettuata, la vita del re è 729  volte più beata di quella del tiranno e la vita del tiranno altrettante volte più infelice di quella del re.» [285]  Nel Leggi (V, 737 c) Platone in un primo tempo afferma che:  «I limiti della popolazione [di uno stato] non possono essere fissati in maniera esatta» [286], ma poi si contraddice fissando un numero ideale: il 5040. Ed allora:

 

Anche gli appezzamenti di terra le case distribuite saranno dello stesso numero, di modo che ad ogni lotto corrisponda un cittadino. Il numero complessivo dovrà esser diviso prima due parti e poi in tre. Inoltre esso è per definizione divisibile anche per quattro e per cinque e così via fino a dieci.[287]

 

Basta moltiplicare i numeri dall’1 al 7 (5040 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7) per ottenere tale numero perfetto (divisibile per 2, 3, 4, 5, 10) di appezzamenti, case e poi cittadini della polis platonica ideale e virtuosa. Non basta:

 

Ora, se la totalità dei numeri in rapporto a qualsiasi funzione ammette tutte le divisioni possibili, il 5040 in rapporto alla guerra e altre opere di pace - e cioè, affari e contratti di società, per quanto concerne le tasse e la distribuzione dei beni  -  non potrebbe ammettere più di 59 divisori  [288]

 

Abbiamo così compreso ed appreso come il legislatore teologo possa progettare lo stato ideale esclusivamente sulla base di calcoli sulla sacralità dei numeri.

    Nel Neoplatonismo, specialmente quello tardo, la numerologia torna ad avere un ruolo molto importante. Proclo (Commento al I libro degli “Elementi” di Euclide) dichiara: «Il 5 e il 6 mostrano la potenza ciclica nel progredire partendo da loro stessi e nel ritornare ogni volta a sé. Infatti, moltiplicati per se stessi, terminano sempre con se stessi.» [289]  Plutarco in Apud Delphos afferma:  « Il 5 imita la causa prima ordinatrice del cosmo, in quanto moltiplicato per se stesso produce sempre un numero terminante con un cinque o con una decina.»  [290]  Alla fine del IV secolo Sant’Agostino nel De libero arbitrio, in riferimento ad un versetto dell’Ecclesiaste (7, 25), pone la questione seguente: «Ma vorrei assai sapere se in un qualche solo genere siano contenute queste due realtà, cioè la sapienza e il numero […] se l’una derivi dall’altra o l’una sussista nell’altra; se il numero derivi dalla sapienza o se sussista nella sapienza» [291]. Ma si lancia anche in operazioni gematriche nel capitolo V del De Trinitate (con titolo Il numero 6 nella formazione del corpo di Cristo), scrivendo:

 

Ora 46 [presunto tempo impiegato a ricostruire il Tempio di Salomone] volte 6 fa 266, che è il numero di giorni contenuto in 9 mesi e 6 giorni, tempo che si computa come se fossero 10 mesi per le donne incinte […] e il corpo del Signore ha impiegato tale numero di giorni per giungere a termine perfettamente costituito […] Si crede che sia stato concepito il 25 di marzo, che è anche il giorno della sua passione […] D’altra parte secondo la tradizione nacque il 25 dicembre. Ora dal giorno della concezione e quello della nascita si hanno 266 giorni, numero uguale a 46 volte 6. In 46 anni fu costruito il tempio, perché nel numero di giorni corrispondente a 46 x 6 si formò completamente il corpo del Signore, distrutto dalla sofferenza della morte. […] Ora, dalla sera della sepoltura fino all’alba della Resurrezione sono 36 ore, che e equivale al quadrato di 6 […] Nessuno sarà così sciocco o di cattivo gusto da sostenere che la loro presenza nella Sacra Scrittura sia priva d’importanza , e che la frequenza non è caratterizzata da intenzioni mistiche. [292] 

 

Solo gli sciocchi possono dubitare di tali assolute verità del santissimo fautore della fusione del Platonismo col Cristianesimo.     

    San Tommaso (Summa, 30, 3) vede un rapporto diretto e necessario tra Dio e l’Uno nell’espressione Deus Unus con il secondo termine quale attributo inscindibile. Dante, studioso di San Tommaso che riprendendo anche il Boezio dell’Ars geometricaPrimum autem numerus […] sed fons ed origo numerorum.») pare credere nella divinità dei numeri quando scrive nel Paradiso (XV,97) che dall’uno si irradiano il 3 e il 5 (“raia da l’un, se si conosce, il cinque e il sei”). L’agostiniano Ramòn Llull (1235-1315), italianizzato in Raimondo Lullo, è il fervido inventore di una nuova forma di teurgia, l’ Ars Magna, il cui fine è produrre una copia umana del Sapere Assoluto di Dio. Un esercizio matematico-religioso che trova in Bruno un sostenitore, riscuotendo molto successo sino al tutto il ‘600 e che Leibniz ribattezzerà Ars Characteristica nel suo De arte combinatoria del 1666, distinguendo tra essa (come ars inveniendi) e la logica (quale ars demonstrandi). La lulliana Ars Magna combina elementi semplici per realizzare enti complessi con il 9 quale “numero creatore” che raddoppiato crea 18 elementi-base del sapere. Di essi 9 (lettere dell’alfabeto e simboli grafici) sono di Dio secondo una scala discendente di sue perfezioni presenti come copie negli uomini (bontà, grandezza, potenza, ecc.). Gli altri 9 indicano le relazioni tra gli enti finiti (differenza, concordanza, ecc.).  Nel XV secolo Nicola da Cusa in De docta ignorantia (I, 5) afferma: «non potest autem unitas esse numerus, sed est principium omnis numeri

    La gematria (o ghematria) è una dottrina sapienziale le cui origini si perdono nella notte dei tempi. In Occidente nasce col Pitagorismo e poi si diffonde nel mondo ebraico e in quello arabo. Il grande anno siderale pitagorico era di 25.920 anni e veniva ottenuto dal nome “Pitagora” alla cui struttura alfabetica corrispondeva in termini gematrici il numero 864. Questo, moltiplicato per il prodotto dei due numeri sacri 3 (terna/triade/triangolo) e 10 (tetraktis), con somma 30, dava appunto 25.920.I Greci la chiamavano isopefia, i cinesi ha-doz, gli arabi hisab-al-jumal, ma ad imporsi è stato poi il termine di origine ebraica, forse per gli straordinari sviluppi verficatisi in quell’ambito. Si basa sulla credenza che le lettere (ma anche le parole intere o comunque le loro prime tre lettere ) ed i numeri posseggano corrispondenze ontologiche. In base a ciò si istituisce una scienza sacrale che va alla ricerca dei significati letterali nelle espressioni numeriche e di quelli numerici in quelle letterali. Tutto ciò si fonda essenzialmente sul  fatto che ogni suono vocale possiede una certa posizione all’interno dell’alfabeto. Ne nasce una successione di segni/suoni divinizzati che in ambito ebraico è ovviamente “creata” dal Dio-Volontà trascendente, ma si presta molto bene altrove ad essere vista come emanazione di un Dio-Necessità immanente. 

    La particolarità della lingua ebraica sta nel fatto di non possedere vocali (esse sono state introdotte intorno al VI secolo solo per fissarne la fonetica) né parole per i numeri, che sono perciò indicati con lettere dell’alfabeto. I significati gematrici sono quindi quasi “intrinseci” alla lingua ebraica che essendo dono di Dio era automaticamente divina corrispondenza tra espressioni letterali ed espressioni numeriche. Nella Qabbalah si trova la più alta espressione della gematria come lettura mistica della realtà e il Sefer ha-zohar (Il libro dello splendore), semplificato in Zohar, diviene noto in Castiglia verso la fine del XIII secolo tra la classe colta ebraica. Il suo assunto di base è che la Torah, è il progetto della Creazione, e in quanto tale è espressione di Dio in persona ed offre tutte le spiegazioni sulla natura di Dio, dell’uomo, del mondo, del bene, del male, della venuta del Messia, della Redenzione, ecc. Ogni parola e ogni verso hanno quindi un valore “nella lingua di Dio”, a cui l’uomo può accedere svelandone i significati riposti. È in  questa prospettiva che i significati letterali possono assumere valori numerici e viceversa. Così nella Kabbala è rafforzata l’idea, già presente nel Talmud, che la Thorah racchiuda 613 precetti, 248 dei quali positivi (ciò che si deve fare) e 365 negativi (ciò che non si deve fare), dove i positivi corrispondono a 248 parti del corpo umano e 365 al numero dei nervi.

 

 

NOTE 

 

[193] Si veda Necessità e libertà, cit., pp.47-48

[194] L.Smolin, La vita del cosmo, cit., pp.225-226.

[195] G.Galilei, Il Saggiatore, Roma-Padova, Antenore 2005, pp.119-120.

[196] Ivi, pp.168-170 e passim in tutta l’opera.

[197] Ivi, pp.155-157.

[198] Ivi, p.274

[199] J.D.Barrow, Da zero a infinito, Milano, Mondadori 2002, p.50.

[200] G.Reale, Per una nuova interpretazione di Platone: rilettura della metafisica dei grandi dialoghi alla luce delle “Dottrine non scritte”, Milano, Vita e Pensiero 1995.

[201] C.B.Boyer, Storia della matematica, cit., p.102.

[202] Russell dichiara in Storia della filosofia occidentale (Milano, Longanesi 1983, pp. 55-56): «La matematica è, credo, ciò su cui sostanzialmente poggia la fede in una verità esatta ed eterna, nonché in un mondo intelligibile al di sopra dei sensi.»

[203] B.Russell, Introduzione alla filosofia matematica, Milano, Longanesi 1962, p.p.324-325.

[204] A questo proposito notano W.C e M. Kneale (Storia della logica, Torino, Einaudi 1972, pp.710-711): «Possiamo allora dire che Whitehead e Russell abbiano ridotto la teoria dell’identità alla logica, sempre che essi possano trovare qualche modo soddisfacente di precisare la loro definizione in modo che essa concerna soltanto funzioni non-intensionali. »

[205] L.Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, Torino, Einaudi 1974, p.38.

[206] Ibidem.

[207] Ivi, p.66.

[208] Ibidem.

[209] Lakoff è un linguista cognitivista della Berkeley University che nel 1980 con Metaphors we live by, scritta in collaborazione con Mark Johnson, aveva proposto la tesi dell’origine fondamentalmente metaforica del linguaggio ordinario.

[210] C.B.Boyer, Storia della matematica, Milano, ISEDI 1976, p.5.

[211] P. Zellini, La ribellione del numero, Adelphi, Milano 1985, p.43.   

[212] J.Locke, Saggio sull’intelligenza umana, vol.I,  a cura C.Pellizzi, Roma-Bari, Laterza 2006, p.218.

[213] Keith Devlin coglie nella Sindrome di Gerstmann, conseguente ad un danno al lobo parietale sinistro che fa perdere la consapevolezza delle dita della mano e insieme la facilità nel contare, la conferma fisiologica del ruolo fondamentale delle dita della mano in matematica (K.Devlin, Il gene della matematica, Milano, Longanesi 2002, p.66).

[214] A.Campiglio e V.Eugeni, Dalle dita al calcolatore, Milano, Bompiani 1990, p.17.

[215] Una tribù della Nuova Guinea ancora qualche decennio fa ordinava gli oggetti mettendo in serie le parti del corpo nel seguente ordine: pollice seguito dalle altre quattro dita della mano, quindi polso, avambraccio, gomito ecc. (M.Piazza, Intorno ai numeri, Milano, Bruno Mondadori 2000, pp.9-10).

[216] C.B.Boyer, Storia della matematica, cit., p.5

[217] A.Robinson, Misure, Milano, Touring 2007.

[218] G.Cheverghese, C’era una volta un numero, Milano, Il Saggiatore 2000, p.55.

[219] I Maya usavano per il computo del tempo l’unità-base kin (il giorno) e i suoi composti  uinal (il mese di 20 giorni), tun (l’anno di 18 mesi), il katun (20 anni di 360 giorni), il baktun (400 anni) che venivano rappresentati graficamente con glifi di vario tipo ((A.Campiglio e V.Eugeni, cit., p.159-162).

[220] Quando la cultura araba venne a contatto con quella indiana il termine śunya fu tradotto in as-sifr. Nel mondo  cristiano si tradusse poi questo con zephyrum, cefirum e cifra. L’inglese cipher e il francese chiffre vennero ad indicare poi qualsiasi numero da 0 a 9. In Italia si tradusse anche zefro, zevero e infine zero. Da notare che con zephyrus si indicava  un vento primaverile quasi impercettibile e che con la parola zéphyr (lat. zephyrus e greco ζέφυρος) si indica un tessuto di cotone molto leggero.      

[221] J.D.Barrow, Da zero a infinito, Milano, Mondadori 2002, p.44.

[222] Ivi, p.45.

[223] Ibidem.

[224] C.B.Boyer, Storia della matematica, cit., p.12 e J.D.Barrow, Da zero a infinito, Milano, Mondadori 2000, p.23.

[225] K.Devlin, Il gene della matematica, cit., pp.67-68.

[226] Nell’830 il califfo di Bagdad al-Ma’mun fonda la “Casa della Sapienza”, raccogliendovi schiere di eruditi in filosofia, aritmetica, geometria, algebra, geografia, musica, medicina ed astronomia.  Bagdad nel 933 possiede un Accademia con una biblioteca dotata di 10.000 volumi. In seguito grandi centri di cultura diventano Il Cairo nel 970, Palermo e soprattutto Cordova, che arriva ad avere nel X secolo 800.000 abitanti e 70 biblioteche, con una classe intellettuale internazionale che vi converge. La sola reggia, ai tempi del grande primo ministro al-Mansūr, contava 400.000 volumi (A.Campiglio e V.Eugeni, cit., p.137-138). 

[227] Ivi, p.39.

[228] L’unità 60 offre la possibilità di suddividersi in metà, terzi, quarti, quinti, decimi, dodicesimi, quindicesimi, ventesimi e trentesimi.

[229] Le prime Shulba Sutras coprono un periodo che va dall’800 a.C. al 600 a.C. e  i valori di π variano da 3, 004 a 3,160.

[230] Le terne, che Pitagora  probabilmente impara dai Caldei, sono: 3, 4, 5 – 5, 12, 13 – 8, 15, 17 – 7, 24, 25  - 12, 35, 37.

[231] C.B.Boyer, Storia della matematica, p.35.

[232] Il più antico testo cinese dedicato alla matematica è il Chou Peng Suan Ching,. Ma la sua datazione è controversa, poiché alcuni sinologi lo fanno risalire al 1000 a.C., mentre altri ne abbassano la datazione anche di nove secoli. Secondo Carl B.Boyer una datazione ragionevole è il 300 a.C.(C.B.Boyer, Storia della matematica, cit., p.229).  

[233] A.Seidenberg, On the volume of a sphere,  in: Arch.Hist.Exact.Sci. 39, 1988, n°2, pp. 97-119)

[234] I Presocratici, a cura di G.Giannantoni e altri, vol. I, Roma-Bari, Laterza 2004, pp.88-89.

[235] Abraham Seidenberg (1916-1988) è un matematico statunitense che dagli anni ’60 è diventato il principale storico della matematica pre-greca. Egli ha messo in rilievo ciò che era già in parte noto, ovvero come sia stato in India (tra il II e la metà del I millennio a.c.) che hanno avuto nascita le più importanti teorizzazioni matematiche poi passate in ambito mesopotamico, persiano ed egiziano. Tra esse il “cosiddetto” Teorema di Pitagora, già presente nelle Shulba Sutras (“regole delle corde”) del IX sec.a.C.  Le opere in cui Seidenberg ha esposto tali accertamenti sono due: The origin of mathematics (in: Archive for History of Exact Sciences del 1978)  e The geometry of Vedic Rituals (in: Agni, The Vedic Ritual of the Fire Altar, vol.II, ed. Staal, Asian Humanities Press, Berkekey 1983).

[236] A.Campiglio e V.Eugeni, Dalle dita al calcolatore, cit., p.79.

[237] Il debito nei confronti della cultura indiana riguarda anche la nominazione dei numeri: in sanscrito 2 si dice dva, 3 si pronuncia tri, quattro catur, 5 panca, 6 sast, 7 sapta, 8 asta, 9 nava e dieci daca (Campiglio - Eugeni, cit., p.120).

[238] C.B.Boyer, Storia della matematica, cit., p.141.

[239] Ivi, p.289.

[240] C.B.Boyer, Storia della matematica, cit., p.281.

[241] Ivi, p.265.

[242] W.C.Kneale e M.Kneale, Storia della logica, Torino, Einaudi 1972, pp.6-7.

[243] Aristotele, Topici, in : Opere, vol.II, Bari-Roma, Laterza 1982, p.197.

[244] L’aggettivo platonista è ricorrente in italiano ad indicare i matematici seguaci di Platone, altrimenti detti anche “realisti” (da sottintendere “metafisici”). 

[245] A.N.Whitehead, Scienza e filosofia, Milano, Il Saggiatore 1966, p.115..

[246] Ivi, p.117

[247] E.Husserl, Idee per una fenomenologia pura, Torino, Einaudi 1950, p.107.

[248] E.Husserl, La crisi delle scienze europee e la fenomenologia trascendentale, Milano,  Il Saggiatore 1983, p, p.300.

[249] Ivi, p.301.

[250] Ivi, p.304.

[251] P.Davies La mente di Dio, Milano, Mondadori 2000, p.185.

[252] J.Jeans, The Mysterious Universe, Cambridge, Cambridge University Press 1931, p.137.

[253] C.Tamagnone, La filosofia e la teologia filosofale, cit., pp.140-153.

[254] C.Tamagnone, Necessità e libertà, cit., pp.47-48.

[255] R.Feynman, QED La strana teoria della luce e della materia, cit, p. 141.

[256] Il principio di esclusione, enunciato da Wolfgang Pauli nel 1924, sancisce il fatto che due fermioni non possono occupare lo steso posto contemporaneamente, mentre possono farlo i bosoni.

[257] R.Feynman, QED, cit, p. 142-143.

[258] L.Smolin, La vita del cosmo, cit., p.228.

[259] Ivi, p.229.

[260] J.D.Barrow, Perché il mondo è matematico?, cit., pp.13-14.

[261] Ivi, p.14.

[262] Ibidem.

[263] Ivi, pp.15-16.

[264] Ivi, p.54.

[265] Ivi, pp.53-77.

[266] Ivi, pp.78-79.

[267] Ivi, p.79.

[268] A.Campiglio e V.Eugeni, cit., p.179.

[269] Ivi, p.66.

[270] P.Andronico-Tosonotti, La numerologia, Milano, Xenia 1999, p.43..

[271] Ivi, p.62

[272] P.Zellini, Gnomon, Una indagine sul numero, Milano, Adelphi 1999, p..61.

[273] Isocrate, Orazioni, 111, 27-29; in: I Presocratici, vol.I, Roma-Bari, Laterza 2004, p.116.

[274] C.Tamagnone, Ateismo filosofico nel mondo antico, cit., p.124 e pp.286-289.

[275] Aristotele, Metafisica, Bari, Laterza 1973, p.20.

[276] I Presocratici, Testimonianze e frammenti, a cura di G.Giannantoni e altri, vol.I, Roma-Bari, Laterza 2004, p.120.

[277] Ivi, p.133.

[278] Platone, Repubblica, in: Tutti gli scritti, a cura di G.Reale, Milano, Bompiani 2000, p.1247.

[279] Ivi, Filebo, cit., p.394.

[280] Ibidem.

[281] Ivi, Timeo, p.1380.

[282] Ivi, p.1381.

[283] Ivi, Repubblica, VIII, p.1264.

[284] Ivi, nota 330 b, p.1342,.

[285] Ivi, IX, p.1302.

[286] Ivi, Leggi, V, p.1552.

[287] Ivi, p.1553.

[288] Ibidem.

[289] P.Zellini, Gnomon, cit, p.41.

[290] Ivi, p.41.

[291] R.Hersh, Cos’è davvero la matematica, Milano, Baldini & Castoldi 2003, p.171.

[292] Agostino d’Ippona, La trinità, a cura di G.Beschini, Roma, Città Nuova 1987, libro IV, 5.9-6.10.